工程问题数学建模实训报告.doc

工程问题数学建模 实训报告目录 一 摘要 2 二 基本假设 2 三 设计变量的确定 2 四 整体求解思路 4 五 目标函数的确定 4 六 约束条件的确定 5 七 MATLAB .7 八 总结 10 九 参考文献 111 题目: 机床主轴自重最轻优化设计 机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使 用 材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。 在 设计时有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端 C 点的挠度。图 1 所 示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设 计。 已知条件：主轴材料为 45#，内径 d=30mm，外力 F=15000N，许用挠度 y0=0.05mm， 材料的弹性模量 E=210GPa，许用应力[ σ]=180MPa，材料的密度为 。 300≤ ≤650， 60≤ ≤110， 90≤ ≤150。 、 、 3 7800 / kg m   l D a l D a 的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。 其中，C 点的挠度： ； 。   EI a l Fa y 3 2     4 4 64 d D I    题 图 如 下2 一 摘要 本文利用了材料力学对机床主轴进行了受力与形变分析，利用 机械优化设计对机床主轴参数优化建立了数学模型，最后通过 MATLAB 实现了对参数最优解的求解。 机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。 为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当 量直径表示的等截面轴。在设计这根主轴时，有 3 个重要因素需要 考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端的挠度;还有则是此轴强度 应满足要求。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，对机床主 轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度与许 用应力是约束条件。3 关键词：材料力学 挠度 许用应力 自重 优化 二 基本假设（1） 主轴在实际工作时处于理想状态不受振动等题目外因素干扰。（2） 将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。 三 设计变量说明 当主轴的材料选定时，其设计方案由 3 个设计变量决定。空心轴的 长 l，外径 D，伸出的轴长 a 分别为 X1 ，X2 ，X3。 故设计变量 取 为 x=[x1 x2 x3]T=[l D a]T变量及系数表1 x空心轴长 l2 x空心轴外径 D3 x伸出轴长 ad 空心轴内径F 外力4材料密度E 弹性模量I 惯性矩M 弯矩W 截面抗弯矩[σ] 许用应力 = D d 四 整体求解思路 根据题意找到变量建立目标函数与约束方程，带入 MATLAB 中进 行求解变量目标函数约束方程 MATLAB MATLAB最优解5 五 目标函数的确定 机床主轴优化设计的目标函数则为 即主轴自重 ) )( ( 4 1 ) ( 2 2 2 3 1 d x x x x f      式中， - 材料的密度。  带入数值 7800kg/ , d=30mm   3 m 推出 ) 0009 . 0 )( ( 10567 . 6126 2 2 3 1    x x x f6 六 约束条件的确定 上图为机床主轴的受力分析 图（1）为轴应力图表示机床主轴各个位置所受的切应力 图（2）为轴弯矩图表示机床主轴各个为之所受的弯矩 由图可知机床主轴在 B 点有应力突变此处承受的弯矩最大 Fa M  max （1）应力图 （2）弯矩 图7由题意知机床主轴应满足两个条件，一是端点 c 处的扰度最大 值应小于 0.05mm，二是此轴的应力应小于 。 ] [  （1）主轴刚度 主轴刚度是一个重要性能指标，其外伸端的挠度 y 不得超过规定值 y0，据此建立性能约束 g(x)=y-y0 ≤0 在外力 F 给定的情况下，y 是设计变量 x 的函数，其值按下式计算 EI a Fa y 3 ) 1 ( 2  式中 ) ( 64 4 4 d D I    则 0 ) ( 3 ) ( 64 ) ( 0 4 4 2 3 1 2 3      y d x E x x Fx x g  E=210GPa，F=15000N， mm y 05 . 0 0  推出 0 083 . 103 00000081 . 0 ) ( 4 2 3 1 3 3     x x x x ⑵ 主轴强度 对于强度条件： ] [ max max     z W M 其中 Fa M  max ) 1 ( 32 4 3     D W z D d   a MP 180 ] [   进行简化得 0 0972 . 1178 ) 000027 . 0 ( 3 2 3    x x 边界约束条件为设计变量的取值范围，即 ≤ ≤ min l l max l ≤D≤ min D max D ≤a≤ min a max a