数学建模作业(举例)05.doc

1 作业：P 20 1. 举出一个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大 体上什么样的模型以及怎样应用这种模型 CUMCM2002A题 车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方， 其开口半径36毫米，深度21．6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方 向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光 源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F正前方25米处的A点放置一测试屏， 屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过 A点引出一条与地面相平行的直线， 在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC二2AB：2．6米。要求C点的光强度不小于某 一额定值(可取为1个单位)，B点的光强度不小于该额定值的两倍 (只须考虑一次反 射)。请解决下列问题(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。(2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区(3)讨论该设计规范的合理性。 车灯线光源的优化设计 王伟叶， 姜文华， 吴家麒 指导老师： 曹 沅 (复旦大学数学系，上海 200433) 编者按：本文的一个有点是能从入射角等于反射角，入射向量，入射点处抛物面的法向量和反射向量共面 以及抛物面方程三组方程出发应用数学软件详细算出光源上一点射向抛物面时，可能有几个反射 点(反射光线)可以反射到 C 点(类似的 B 点)，尽管没有指出有可能会有三个反射点。本文的另一 个优点是能对本文所作的近似假设的合理性作比较仔细的分析。本文在计算亮区时能用两种方法 计算并作了比较。 摘 要：本文首先将车前灯线光源的优化设计问题通过合理的假设、近似和数学推理归结为一个求函数最 值的模型，进而通过 Matlab 的符号计算和绘图功能求解。得到了切合实际的解答，其次对该长 度的光源在测试屏上产生的反射光亮斑用两种不同的方法进行了绘制，最后对题中所提及的设计 规范进行了分析，阐述了其合理性。 在第一个问题上我们将着眼点主要放在从光源上同一点出发经过直射或反射到达屏上某点 (B 或 C)的光线的条数上，而忽略了其它因素诸如光程及入射角等带来的影响。运用空间解析 几何中关于旋转抛物面的知识分别列出在 FAB 平面上和不在 FAB 平面上的反射光必须满足的 方程，用 Madab 求符号解，利用反射关系在光源上的点和镜面上的点之间作对应，进而画出 函数图像来分析光线的条数多寡。在明确光源上海一点对光屏上 B、C 点的“贡献”后构造合 理的目标函数，用 Matlab 编程计算，画图求最大值。最后我们得到最合理的光源长度应为 3．82毫米左右。针对第二个问题我们首先建立了三个关于光线传播和光线被截断时必须满足的条件的相关定 理，然后采取了两种各有长处的描绘方法并用 Matlab 软件加以实现。其一是描点法，即在光源 和抛物面上都每隔一定距离取出一个点进行计算。其二是线段法，线段法的理论根据是线段在抛 物面上一点的反射下，投影在屏上图像仍然是线段而且保持线段上各点的比例不变，于是可以在 镜面上取一些密集的点，将光源通过其中每一点的反射像叠加，就得到屏上的亮区。两张图在轮 廓上是完全一致的，都是长约为 6米，高约为 2米的纺锤形。而前者在屏上光的强度方面能观察 得更清晰，后者在速度和轮廓清晰度上更占优势。而对第三个问题即该设计规范合理性的分析，我们从三个不同的角度进行了探讨，其一是遭 遇突发情况时汽车司机的反应，其二是在整个空间范围内的光强度，其三是光的强度分布。2在模型的评价部分，我们对近似假设的合理性作了量化的分析，在光源长度假设上，我们结 合实际对其合理性作了验证。最后还对模型的优缺点作了分析，并在一定程度上介绍了其推广前 景。 关键词：连续模型；函数最值 分类号：AMS(2000)49K35 中图分类号：0224 文献标识码：A 1 问题重述(略) 2 模型假设 H1.只考虑葱光源直接照射或经一资热反射照到 B、C 两点的光线，反射两次以上的光线不 予考虑。 H2.经查阅资料后，假设旋转抛物面的反射诫经为 0.95，即经过抛物面一次反射后光强损失 5%。 H3.光源视为一条均匀发光的线段，不考虑其粗细。 H4.当光源长度一定时，屏上点的光强度与光源功率成正比。 H5.光源上所有的点经一次反射后到屏上同一点的光程和人射角视为相同。光源上所有的点 直射到屏上同一点的光程和人射角也视为相同（这条假设的合理性在误差分析中将提到） 。 H6.光源的长度不能太长（这条假设的合理性将在模型评价中提到） 3 符号说明 S：旋转抛物面 2 2 60 ,0 21.6 x y z z     F：旋转抛物面的焦点（0,0,15） K：主光轴 x=y=0 L：线光源 （长度为 2b） , 15, y x z b x b      B：光屏上的给定点（2600,0,25015） C：光屏上的给定点 (1300,0,25015) P：单位长度的功率 ：当 P 0 =1 时，B 点的光强度关于光源长度 2b 的函数 ( ) B f b ：当 P 0 =1 时，C 点的光强度关于光源长度 2b 的涵数 ( ) c f b W：线光源的总功率 W=2bp。 ：曲面 S 上的某点 0 0 0 ( , , ) x y z t:C 点的光强度不小于额定值 t,B 点的光强度不小于额定值 2t 4 问题分析 当 C 点的光强度不小于 t,B 点的光强度不小于 2t 时,要求光源的功率最小.换句话说,若 ，我们要求的最小值。 0 0 ( ) 2 ( ) B c p f b t p f b t      因为，所以 而此处 t 为一 2 4 2 max( , ) 2 0 max( , ) ( ) ( ), ( ) ( ) t t bt bt po bp fB b fc b fa b fc b   所以3 常值，因而只要求 的最小值。或者求 （ ）的最大 2 max( , ) ( ) ( ), t t fB b fc b min ( ) ( ) , 2 c B f b f b b b 值。 5 模型的建立 线光源长度计算模型 我们先分析光屏上点 C 的情况。对于线光源上一点 M，光线 可以直接从 M 照射到 C，也可以从 M 经过一次反射照到 C，因此光屏上点 C 的光强度由 直射光线和反射光线叠国决定，我们来仔细分析一下反射光线的路径。 1).设光源位于平面 xoz 上，则在平面 xoz 上至少存在一条路径从 M 经拓展后的抛物面 反射到 C。事实上，对于直线 上任意一点，在 xoz 平面上必定存在这样一条路线。为了 2 l 寻找这样的反射点 R，设 R 的坐标为 ，在平面 xoz 中过点 R 的抛物线的切线记 0 0 ( ,0, ) x z 为 ，那么 与 MR 的夹角相同。现抛物线的方程为 处切线的 3 l 3 l 2 60 , x z  0 0 在点R(x,0,z) 斜率为（2600,0,25015） ，RM 的斜率为， ，