2020年初升高数学衔接专题03一元二次方程原卷版
初高中天衣无缝衔接教程(2020版) 专题03 —元二次方程 本专题在初中、高中扮演的角色 1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关 系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为高中阶段的使用打下基础. 2. 一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,向我们展示了认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探 索,锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3. 一元二次方程的根与系数的关系,中考考查的频率较高,高考也常与几何、二次函数等问题结合考查,是 考试的热点,它是方程理论的重要组成部分. 4. 韦达定理的原定理的功能是:若已知一元二次方程,则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而 其逆定理的功能是:若已知一元二次方程的两个根,可写出这个方程. 高中必备知识点1:根的判别式 我们知道,对于一元二次方程aj^+bx+c=O (。*0),用配方法可以将其变形为 因为。*0,所以,4疽>0.于是 (1) 当b2~4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 -b ± y/b2 - 4ac XI, 2=; 2a (2) 当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 b 尤1=入2=_ 一 ; 2a b 9 (3) 当b2~4ac<。时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边(X + —尸一定大于或等于零,因此, 2a 原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=O (。尹0)的根的情况可以由b2~4ac来判定,我们把b2~4ac叫 做一元二次方程ax1+bx+c=Q (缶幻)的根的判别式,通常用符号来表示. 综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (。病),有 (1) 当时,方程有两个不相等的实数根 -b±y]b2 -4ac Xl, 2=; 2a (2) 当△=()时,方程有两个相等的实数根 b X1=X2= ———; la (3) 当△<()时,方程没有实数根. 典型考题 【典型例题】 关于X的一元二次方程『-(in - l)x + 2m - 1 = 0,其根的判别式为16,求m的值. 【变式训练】 已知关于x的一元二次方程mx。- (in + 2)x+ 2=0 (1) 若方程的一个根为3,求m的值及另一个根; (2) 若该方程根的判别式的值等于L求m的值. 【能力提升】 方程(x - 5) (2x - 1) =3的根的判别式b2 - 4ac=_. 高中必备知识点2:根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 (q^O)有两个实数根 -b + y/b2 - 4ac-b - yjb2 -4ac \ ~-,入2 =-, 2a2a 则有 -b + yjb1 -4-ac -b - yjb2 -Aac -2b b x, +—1——— 2a2a 2a a _-b + \/b2 - Aac -b 一 yjb1 -4ac _b2 - (b2 一 4ac) _ 4ac _ c 1 2 2a2a4a24a2 a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: bc 如果ax1+bx+c=Q (站0)的两根分别是Xi, X2,那么xi+x2=, xi-X2=—.这一关系也被称为韦达定 aa 理. 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x1+px+q=Of若羽,入2是其两根,由韦达定理可知 X\+x2=—p, Xl-X2 = q, 即 p =—(X1+X2), q=X\-X2, 所以,方x1+px+q=0可化为x2—(xi + X2)x+Xi• %2=0,由于”,刀2是一元二次方程j^+px+q=。的两根, 所以,Xi, X2 也是一元二次方程 X2 —(Xl+x2)x+xi-j;2 —0. 典型考题 【典型例题】 如果关于x的一元二次方程亦2+况+c=0 (a#0)有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这 样的方程为“倍根方程”. (1)请问一元二次方程必-6小+8=0是倍根方程吗?如果是,请说明理由. (2)若一元二次方程xWx+c=0是倍根方程,且方程有一个根为2,求久c的值. 【变式训练】 求方程X2 - 2x - 2 = 0的根工1, X2 (尤1>尤2),并求X12+2x2的值. 【能力提升】 已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根a, P (1)求m的取值范围; (2)若(X+&+邱=0.求m的值. 专题验收测试题 1.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元,且第一季度的产值为175亿元.若设平均每月的增长 率为x,根据题意可列方程为() A. 50(1+x)2=175 B. 50+50(1+x)2=175 C. 50(1+x)+50(l+x)2= 175 D. 50+50(1 +x)+50(1 +x)2= 175 2. 方程J _》+ 3 = 0的根的情况是( A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 3. 一元二次方程(x+2) (x - 1) =4的解是 A. xi=0, X2= - 3 B. xi=2, C. Xl = l, X2 = 2D. xi= - 1, X2= - 3 X2= - 2 4.已知关于尤方程菸-4x+m=0, 如果从1、2、 3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项那么所得方 A. ^2 B. 2 程有实数根的概率是() 5. a、。是方程2x2-2x-3=0的两根,则(a+1) (p+1)的值为() 6. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形, 如图所示,已知ZA = 90°, BD = 4, CF = 6,则正方形ADOF的边长是() D. 4 7. 如图,将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形,用这四块图形进行拼接,恰能拼成一个没有缝隙的 正方形,则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为() a 贿r a/5 +1c a/5 —1a/5 + 3 2444 8. 若一个等腰三角形(不是等边三角形)的三边长均满足方程了2一6尤+ 8 = 0,则这个等腰三角形的周长 为() A. 8B. 10C. 8 或 10D. 6 9. 设力,工2是一元二次方程x2 - 2x - 5=0的两根,则却+杉的值为() A. 6B. 8C. 14D. 16 10. 规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a*0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍, 则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论: ①方程x2+2x - 8=0是倍根方程; ② 若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a二±3; ③ 若关于x的方程ax2 -