圆的性质教案
授课教案 学员姓名: 授课教师: 所授科目: 学员年级: 上课时间:—年_月_日—时—分至—时—分共—小时 教学标题 圆的性质 教学目标 掌握圆的相关概念、性质、定理、计算与证明 教学重难点 与圆有关的计算与证明 上次作业检查 授课内容: 一[复习】 1. 检查并讲解上次作业,查看学生掌握情况 2. 复习概率与旋转的相关知识 二【新课内容】圆的性质 1. 圆的定义: (1) 线段0A绕着它的一个端点0旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫 做圆. (2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2. 判定一个点P是否在上. 设③0的半径为R, OP = d,则有d>r=点P在③0夕卜; d = r=点P在(30上; d〈r=点P在③0内. 3. 与圆有关的角 (1) 圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2) 圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质: 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. (3) 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4. 圆的性质: (1) 旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合; 圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任 意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2) 轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1) 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3) 弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5) 平行弦夹的弧相等. 5. 三角形的内心、外心、重心、垂心 (1) 三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心, 在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2) 三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐 角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在 三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用0表示. (3) 三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是 到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4) 垂心:是三角形三边局线的交点. 6. 切线的判定、性质: (1) 切线的判定: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2) 切线的性质: 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心. (3) 切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线 长. (4) 切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角. 7. 圆内接四边形和外切四边形 (1) 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角 等于内对角. (2) 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等. 8. 直线和圆的位置关系: 设③0半径为R,点0到直线1的距离为d. (1)直线和圆没有公共点=直线和圆相离=d>R. ⑵直线和③0有唯一公共点=直线1和③0相切=d=R. (3) 直线1和③0有两个公共点=直线1和③0相交=d〈R. 9. 圆和圆的位置关系: 设OOP0O2的半径为R、r(R>r),圆心距°i°2 = d. (1)R+r. (2) °和。。2没有公共点,且。°2的每一个点都在° 外部=°°r0O2内 含=d〈R—r (3) 0 0^0 02有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部。 外切=d = R+r. (4) ©Op0O2有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在°。1内部。 内切=d = R—r. ⑸°°1 002有两个公共点=oor0o2相交=R-r