圆的性质教案

授课教案 学员姓名 授课教师 所授科目 学员年级 上课时间年_月_日时分至时分共小时 教学标题 圆的性质 教学目标 掌握圆的相关概念、性质、定理、计算与证明 教学重难点 与圆有关的计算与证明 上次作业检查 授课内容 一［复习】 1. 检查并讲解上次作业，查看学生掌握情况 2. 复习概率与旋转的相关知识 二【新课内容】圆的性质 1. 圆的定义 1 线段0A绕着它的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫 做圆. 2 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2. 判定一个点P是否在上. 设③0的半径为R, OP d,则有dr点P在③0夕卜； d r点P在30上； d〈r点P在③0内. 3. 与圆有关的角 1 圆心角顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 2 圆周角顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 3 弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4. 圆的性质 1 旋转不变性圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任 意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2 轴对称圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论 1 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2 平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 4 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 5 平行弦夹的弧相等. 5. 三角形的内心、外心、重心、垂心 1 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心， 在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. 2 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐 角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在 三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用0表示. 3 三角形重心是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是 到对边中点距离的2倍，通常用G表示. 4 垂心是三角形三边局线的交点. 6. 切线的判定、性质 1 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. 2 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心. 3 切线长从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线 长. 4 切线长定理从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角. 7. 圆内接四边形和外切四边形 1 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角 等于内对角. 2 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 8. 直线和圆的位置关系 设③0半径为R,点0到直线1的距离为d. 1直线和圆没有公共点直线和圆相离dR. ⑵直线和③0有唯一公共点直线1和③0相切dR. 3 直线1和③0有两个公共点直线1和③0相交d〈R. 9. 圆和圆的位置关系 设OOP0O2的半径为R、rRr,圆心距i2 d. 13和。没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部 rO02 外离dRr. 2 和。。2没有公共点，且。2的每一个点都在 外部r0O2内 含d〈Rr 3 0 00 02有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部。 外切d Rr. 4 Op0O2有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在。1内部。 内切d Rr. ⑸1002有两个公共点oor0o2相交R-rdRr. 10. 两圆的性质 1 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. 2 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 11. 圆中有关计算 ]_ nocR 圆的面积公式S nR2,周长c 2jiR.圆心角为n、半径为R的弧长而. nR _ 圆心角为n。，半径为R,弧长为1的扇形的面积3602. 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为1的圆柱的体积为“R,侧 面积为2nRl,全面积为27iR1 2rR2 . 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为1,高为h的圆锥的侧面积 为n R1 ,全面积为则,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有R2h2 12 . 三【典型例题】 例1如图23-2,已知AB为。0直径，C为赤上一点，CD*「 LAB于D,匕0CD的平分线CP交③0于P,试判断P点位 /、、. 置是否随C点位置改变而改变.4J B 分析要确定p点位置，我们可采用尝试的办法，在金上XJv J 再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然 后从中观察规律.图23,2 小结此题运用垂径定理进行推断. 例2下列命题正确的是 A. 相等的圆周角对的弧相等 B. 等弧所对的弦相等 C. 三点确定一个圆 D. 平分弦的直径垂直于弦. 分析根据圆相关的概念判断 例3 四边形ABCD内接于③0, ZA ZB ZC 1 2 3,求匕D. 分析圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等. 小结此题可变形为四边形ABCD外切于③0,周长为20,且ABBCCD 1 2 3,求AD的长. 图23 4 例4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法将铁环平放在水 平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度 尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以 求得铁环半径.若测得PA 5cm,则铁环的半径是 cm. 分析测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切 线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行 合作解决，即过P点作直线0PXPA,再用三角板画 一个顶点为