2020年初升高数学衔接专题03一元二次方程原卷版

初高中天衣无缝衔接教程2020版 专题03 元二次方程 本专题在初中、高中扮演的角色 1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关 系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础. 2. 一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探 索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 3. 一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是 考试的热点，它是方程理论的重要组成部分. 4. 韦达定理的原定理的功能是若已知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而 其逆定理的功能是若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程. 高中必备知识点1根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ajbxcO 。*0,用配方法可以将其变形为 因为。*0,所以，4疽＞0.于是 1 当b24ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 -b y/b2 - 4ac XI, 2； 2a 2 当b2-4ac0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 b 尤1入2_ 一 ； 2a b 9 3 当b24ac＜。时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边X 尸一定大于或等于零，因此, 2a 原方程没有实数根. 由此可知，一元二次方程ax2bxcO 。尹0的根的情况可以由b24ac来判定，我们把b24ac叫 做一元二次方程ax1bxcQ 缶幻的根的判别式，通常用符号来表示. 综上所述，对于一元二次方程ax2bxc0 。病，有 1 当时，方程有两个不相等的实数根 -by]b2 -4ac Xl, 2； 2a 2 当△时，方程有两个相等的实数根 b X1X2 ； la 3 当△时，方程没有实数根. 典型考题 【典型例题】 关于X的一元二次方程『-in - lx 2m - 1 0,其根的判别式为16,求m的值. 【变式训练】 已知关于x的一元二次方程mx。- in 2x 20 1 若方程的一个根为3,求m的值及另一个根； 2 若该方程根的判别式的值等于L求m的值. 【能力提升】 方程x - 5 2x - 1 3的根的判别式b2 - 4ac_. 高中必备知识点2根与系数的关系韦达定理 若一元二次方程ax2bxc0 qO有两个实数根 -b y/b2 - 4ac-b - yjb2 -4ac \ -，入2 -， 2a2a 则有 -b yjb1 -4-ac -b - yjb2 -Aac -2b b x, 1 2a2a 2a a _-b \/b2 - Aac -b 一 yjb1 -4ac _b2 - （b2 一 4ac） _ 4ac _ c 1 2 2a2a4a24a2 a 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系 bc 如果ax1bxcQ （站0）的两根分别是Xi, X2,那么xix2, xi-X2.这一关系也被称为韦达定 aa 理. 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x1pxqOf若羽，入2是其两根，由韦达定理可知 X\x2p, Xl-X2 q, 即 p （X1X2）, qX\-X2, 所以，方x1pxq0可化为x2（xi X2）xXi 20,由于”，刀2是一元二次方程jpxq。的两根， 所以，Xi, X2 也是一元二次方程 X2 （Xlx2）xxi-j；2 0. 典型考题 【典型例题】 如果关于x的一元二次方程亦2况c0 （a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这 样的方程为“倍根方程”. （1）请问一元二次方程必-6小80是倍根方程吗如果是，请说明理由. （2）若一元二次方程xWxc0是倍根方程，且方程有一个根为2,求久c的值. 【变式训练】 求方程X2 - 2x - 2 0的根工1, X2 （尤1＞尤2）,并求X122x2的值. 【能力提升】 已知关于x的一元二次方程x2（2m3）xm20有两根a, P （1）求m的取值范围； （2）若（X邱0.求m的值. 专题验收测试题 1.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元.若设平均每月的增长 率为x,根据题意可列方程为（） A. 501x2175 B. 50501x2175 C. 501x50lx2 175 D. 50501 x501 x2 175 2. 方程J _ 3 0的根的情况是（ A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根 3. 一元二次方程（x2） （x - 1） 4的解是 A. xi0, X2 - 3 B. xi2, C. Xl l, X2 2D. xi - 1, X2 - 3 X2 - 2 4.已知关于尤方程菸-4xm0, 如果从1、2、 3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项那么所得方 A. 2 B. 2 程有实数根的概率是（） 5. a、。是方程2x2-2x-30的两根，则（a1） （p1）的值为（） 6. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形, 如图所示，已知ZA 90, BD 4, CF 6,则正方形ADOF的边长是（） D. 4 7. 如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的 正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（） a 贿r a/5 1c a/5 1a/5 3 2444 8. 若一个等腰三角形（不是等边三角形）的三边长均满足方程了2一6尤 8 0,则这个等腰三角形的周长 为（） A. 8B. 10C. 8 或 10D. 6 9. 设力，工2是一元二次方程x2 - 2x - 50的两根，则却杉的值为（） A. 6B. 8C. 14D. 16 10. 规定如果关于x的一元二次方程ax2bxc0 （a*0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍, 则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论 ①方程x22x - 80是倍根方程； ② 若关于x的方程x2ax20是倍根方程，则a二3； ③ 若关于x的方程ax2 -