解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 类型一 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 判断三角形形状 2 2 2 例 1 已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C,试判断三角形的形状. 解：TbsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C,「. sinB=sinC 由sin2A sin2 B sin2C得a2 b2 B=C c2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶 ABC 中,若E=60 ,2b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60得 sinA+sinC=. 3 由三角形内角和定理知sinA+sin(120A)=3,整理得 sin(A+30)=1 二 A+3090，即 A 60,所以三角形为等边三角形 例 3:在厶 ABC 中，已知 tan A tan B 2 b2 ■ 2 sin Asin AcosB 解：法 1:由题意得 ■ 2 - ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B sin B cos A sin B A ，试判断厶 ABC 的形 状. ••• 2A=2B 或 2A+2B=n/• A=B 或 A B i，三角形的形状为等腰三角形或直角三角形. 法 2：由已知得 sinAcosBsin Ba 2 2 cos A b2 结合正、余弦定理得 c b 2ac 2b b 2 2 c a 2bc a 2 a 2 ,2 a2 b2 整理得(a2 b2)(a2 b2 c2) 即三角形为等腰三角形或直角三角形 0a2 b2或 a2 b2 c2 例 4：在厶 ABC 中，(1)已知 sinA=2cosBsinC，试判断三角形的形状； (2)已知 sinA= sin B sinC，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC B=C 即三角形为等腰三角形 ，结合正、余弦定理得 整理得 sinBcosC — cosBsinC=0 即 sin(B — C)=0 (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC 2 2 2 2 2 2 a —c - aa -c b c，化简整理得 ( a2 b2 c2 2ac2ab 2 2 )(bc) 0 b c即三角形为直角三角形. 例在厶 ABC 中，（1）已知 a— b=ccosB — ccosA，判断△ ABC 的形 5： 状. 若 b=asinC,c=acosB,判断△ ABC 的形状. （2 解:（1）由已知结合余弦定理可得a b c a2 c2 b2 2ac b2c2 c - 2bc a 2 ，整理得 2b)(a (a b2c2)0 ••• a b 或 a2 b2c2，/三角形为等腰三角形或直角三角形 a c b亠 c=acosB 可知c a 2 2 ,2 (2)b=as inC 可知b sinC哑,asin A 2ac 整理得 b2c2a2，即三角形 ，定是直角三角形，ZA=90,/sinC=sinB/-ZB=ZC,「.AABC 为等腰直角三角形. 例 6:已知△ ABC 中,cos A -，且(a 2): b : (c 2) 5 解：由题意令 1:2:3， 判断三角形的形状. k 2,b 8, c 10 •/ a 2 a 2k,b 2k,c 2 3k(k 0)，则a2k, c 3k 2 b c即厶 ABC 为直 4 ••• cos A —,由余弦定理得k 5 角三角形. 4•/ a 6,b 2 7.在厶ABC中,a、b、c分别为A B C的对边，cos - 匕工，则△ABC的形状为 2c tan A 2c 8.在 ABC 中，若 tan B b b,，则 A= 类型二求范围与最值 1、在中，角所对的边分别为满足 ，”则的取值范围是_ 2、在厶ABC中,AD为BC边上的高线，AD= BC角代 B，C的对边为 a， b，c，则齐的最 大值是 1 1 解析 因为AD= BC= a,由尹 2= ?bcsinA,解得 sinA= 2.2 2 2 b c bc再由余弦定理得 cosA= b+c—a 2bc 1b 2 c a bc 2 1 b c b c 1(b bsinA)，得 c+2cos A+ sinA又 A(0,n)，最大 值为.5 解析几何或者几何法 1 解析几何法： ABC,BC 2,AB 、、3AC,求 ABC 面积的最大值。 2 几何法： ABC，知道 BC=4, AC=2 3,求 B 的范围。 方程有解，利用判别式求范围。 附例： 4、已知 ABC 中，B=—,b 3，且 ABC 有两解，则边 a 的取值范围是 3 5、借力打力型求取值范围 附例：钝角三角形中，B―，若最大边和最小边长的比为m 则 m 的取值范围是 3 设钝角三角形的另外两个角是 + ， -— 33 6、 已知△ABC中,AB=1,BO2,则角C的取值范围是_________ A b / c / B JF C a AB 7、在厶ABC中若 C 2 B,则竺 的取值范围 ____________________ AC 8、已知 ABC 中，B=—,b 3，且 ABC 有一解，则边 a 的取值范围是 3 9、 已知 ABC 中，a x,b 2,B 45o,若该三角形有两解，则x的取值范围是 ________________ 10、钝角三角形 ABC 的三边长为a,a+1,a+2( a 11、在锐角 ABC 中，BC 1, B 2A，则 12、设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 且 ABC , A 2C，则si nA : si n B : sin C 为 14、在锐角三角形 N），则 a= AC 的取值范围为 a,b,c，若三边的长为连续的三个正整数, ABC 中, S 2 2 c (a b) A 2B，则一「的取值范围是 黑) b c , C 既不是最大角，也不是最小角，求k 值 15、在锐角三角形ABC 中, C一 k 取值范围 k 4tan 2 ,C （45 ,90 ）,k （4、2 4,4） 45° 16.在钝角三角形 ABC 中，已知a 1,b 类型三求值专题 1、 在厶 ABC 中，若 BC=5 CA=7, AB=8,则厶 ABC 的最大角与最小角之和是. 2、 在厶ABC中,已知(b+c) : (c+a) : (a+b) = 4 : 5 : 6，则 sinA：sinB ： sinC=_____. 3、 在厶ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD AD=^2,/ADB=135°,若AC={2AB则BD=. 2,则c的取值范围为_ (1,、.3)(5,3)_ 解析：T (b+c) : (c+a) : (a+b) = 4 : 5 : 6,二设b+c= 4k,c+a= 5k,a+b= 6k(k 0), 7 5 3 解得a= qk,b= qk,c= qk, — sinA: sinB: sin C=a:b:c= 7 : 5 : 3.答案：7 : 5 : 3 4、钝角三角形边长为a,a+ 1,a+ 2,其最