解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 类型一 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 判断三角形形状 2 2 2 例 1 已知△ ABC 中,bsinBcsinC,且sin A sin B sin C,试判断三角形的形状. 解TbsinBcsinC,由正弦定理得 sin 2 Bsin 2C,「. sinBsinC 由sin2A sin2 B sin2C得a2 b2 BC c2 三角形为等腰直角三角形. 例2在厶 ABC 中,若E60 ,2bac,试判断△ ABC 的形状. 解T2bac,由正弦定理得 2sinBsinAsinC,由 B60得 sinAsinC. 3 由三角形内角和定理知sinAsin120A3,整理得 sinA301 二 A3090，即 A 60,所以三角形为等边三角形 例 3在厶 ABC 中，已知 tan A tan B 2 b2 ■ 2 sin Asin AcosB 解法 1由题意得 ■ 2 - ,化简整理得 sinAcosAsinBcosB 即 sin2Asin2B sin B cos A sin B A ，试判断厶 ABC 的形 状. 2A2B 或 2A2Bn/ AB 或 A B i，三角形的形状为等腰三角形或直角三角形. 法 2由已知得 sinAcosBsin Ba 2 2 cos A b2 结合正、余弦定理得 c b 2ac 2b b 2 2 c a 2bc a 2 a 2 ,2 a2 b2 整理得a2 b2a2 b2 c2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 0a2 b2或 a2 b2 c2 例 4在厶 ABC 中，1已知 sinA2cosBsinC，试判断三角形的形状； 2已知 sinA sin B sinC，试判断三角形的形状. cosB cosC 解⑴由三角形内角和定理得sinBC2cosBsinC BC 即三角形为等腰三角形 ，结合正、余弦定理得 整理得 sinBcosC cosBsinC0 即 sinB C0 2由已知得 sinAcosBsinAcosCsinBsinC 2 2 2 2 2 2 a c - aa -c b c，化简整理得 a2 b2 c2 2ac2ab 2 2 bc 0 b c即三角形为直角三角形. 例在厶 ABC 中，（1）已知 a bccosB ccosA，判断△ ABC 的形 5 状. 若 basinC,cacosB,判断△ ABC 的形状. （2 解（1）由已知结合余弦定理可得a b c a2 c2 b2 2ac b2c2 c - 2bc a 2 ，整理得 2ba a b2c20 a b 或 a2 b2c2，/三角形为等腰三角形或直角三角形 a c b亠 cacosB 可知c a 2 2 ,2 2bas inC 可知b sinC哑,asin A 2ac 整理得 b2c2a2，即三角形 ，定是直角三角形，ZA90,/sinCsinB/-ZBZC,「.AABC 为等腰直角三角形. 例 6已知△ ABC 中,cos A -，且a 2 b c 2 5 解由题意令 123， 判断三角形的形状. k 2,b 8, c 10 / a 2 a 2k,b 2k,c 2 3kk 0，则a2k, c 3k 2 b c即厶 ABC 为直 4 cos A ,由余弦定理得k 5 角三角形. 4/ a 6,b 2 7.在厶ABC中,a、b、c分别为A B C的对边，cos - 匕工，则△ABC的形状为 2c tan A 2c 8.在 ABC 中，若 tan B b b,，则 A 类型二求范围与最值 1、在中，角所对的边分别为满足 ，”则的取值范围是_ 2、在厶ABC中,AD为BC边上的高线，AD BC角代 B，C的对边为 a， b，c，则齐的最 大值是 1 1 解析 因为AD BC a,由尹 2 bcsinA,解得 sinA 2.2 2 2 b c bc再由余弦定理得 cosA bca 2bc 1b 2 c a bc 2 1 b c b c 1b bsinA，得 c2cos A sinA又 A0,n，最大 值为.5 解析几何或者几何法 1 解析几何法 ABC,BC 2,AB 、、3AC,求 ABC 面积的最大值。 2 几何法 ABC，知道 BC4, AC2 3,求 B 的范围。 方程有解，利用判别式求范围。 附例 4、已知 ABC 中，B,b 3，且 ABC 有两解，则边 a 的取值范围是 3 5、借力打力型求取值范围 附例钝角三角形中，B，若最大边和最小边长的比为m 则 m 的取值范围是 3 设钝角三角形的另外两个角是 ， - 33 6、 已知△ABC中,AB1,BO2,则角C的取值范围是_________ A b / c / B JF C a AB 7、在厶ABC中若 C 2 B,则竺 的取值范围 ____________________ AC 8、已知 ABC 中，B,b 3，且 ABC 有一解，则边 a 的取值范围是 3 9、 已知 ABC 中，a x,b 2,B 45o,若该三角形有两解，则x的取值范围是 ________________ 10、钝角三角形 ABC 的三边长为a,a1,a2 a 11、在锐角 ABC 中，BC 1, B 2A，则 12、设 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 且 ABC , A 2C，则si nA si n B sin C 为 14、在锐角三角形 N），则 a AC 的取值范围为 a,b,c，若三边的长为连续的三个正整数, ABC 中, S 2 2 c a b A 2B，则一「的取值范围是 黑 b c , C 既不是最大角，也不是最小角，求k 值 15、在锐角三角形ABC 中, C一 k 取值范围 k 4tan 2 ,C （45 ,90 ）,k （4、2 4,4） 45 16.在钝角三角形 ABC 中，已知a 1,b 类型三求值专题 1、 在厶 ABC 中，若 BC5 CA7, AB8,则厶 ABC 的最大角与最小角之和是. 2、 在厶ABC中,已知bc ca ab 4 5 6，则 sinAsinB sinC_____. 3、 在厶ABC中，D为BC边上一点，BC3BD AD2,/ADB135,若AC{2AB则BD. 2,则c的取值范围为_ 1,、.35,3_ 解析T bc ca ab 4 5 6,二设bc 4k,ca 5k,ab 6kk 0, 7 5 3 解得a qk,b qk,c qk, sinA sinB sin Cabc 7 5 3.答案7 5 3 4、钝角三角形边长为a,a 1,a 2,其最