中考数学专题复习一元二次方程
专题一:一元二次方程 知识要点扫描归纳 一基本概念 1. 方程定义:含有未知数的等式叫方程。 2. 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程:求方程的解的过程叫做解方程。 4. 一元二次方程的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一 般形式为 ax2 +bx + c = O (。吝0). 二、一元二次方程的解法 1. 直接开方法 (1) 用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程,左边是一 个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负数,就可以用直接开平方法求解. 2. 配方法 (1) 用配方法解方程是以配方为手段,以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的 数学方法. (2) 配方的关键步骤是:在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是: a 土 2ab + b2 = (a + Z?)2 (3) 配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式,另一边为非负实数,再利用直接开平方法求解. 3. 公式法 (1) 用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法. —b +b? — 厂 (2) 一元二次方程ax2 + bx + c = 0(。/ 0)求根公式是:x = 2a (3) 在解一元二次方程时,先把方程化为一般开式,确定a,A,c的值,在b2-4ac>Q的情况下:代 入求根公式即可求解. 4. 因式分解法 1. 对于在一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法来解这 个方程。 2. 理论依据:两个因式的积等于零,那么这两个因式中至少有一个等于零。例如:如果(X-1)3 + 5) = 0, 那么x—1=0或x+5=0。因式分解法简便易行,是解一元二次方程的最常用的方法。 3. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1) 将方程的右边化为零; (2) 将方程左边分解成两个一次因式的乘积; (3) 令每个因式分别为零,得两个一元一次方程; (4) 解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。 4. 形如ax2 +bx = O(a^Q)的方程,可用提公因式法求方程的根:呵=0, x,=一兰(口 / 0)。 a 5. 形如(ax + m)2 -(bx + n)2 =0 (a2 ^b2)的方程,可用平方差公式把左边分解。 三、一元二次方程根的判别式: 一元二次方程ax2 + bx + c = 0(。? 0)的根的判别式—4ac: (1) A〉。。方程有两个不等实数根. (2) A = 0^方程有两个相等实数根. (3) △〈O。方程无实数根. (4) A>0(),且qaO.若有实数根,则分两种情况:①A>0;②。=0 四、一元二次方程根与系数关系(韦达定理) 1. 若一元二次方程ax2 +bx + c = O (<7^0)的两个实数根为玉,,0 则玉 +=,尤],尤2 =一 一a a 2. 以为根的一元二次方程可写成- (.Xj + .x2 ).X + .Xj.X, = 0 3. 使用一元二次方程ax1+bx + c = Q) (。/0)的根的判别式△ = “—4ac解题的前提是二次项系数 。尹0 4. 不解方程,求关于一元二次方程的两个实数根羽,勺的对称式的值的方法是先将式子化成只含 玉+也,天也的形式,然后利用根与系数的关系代入求值.要特别注意如下公式: (1) 2 + x22 =(工1 +工2; )2 -2x}x2 ; (2) 11 xY + x2 + — ; 工1 x2 xxx2 (3) 3 -尤2 I =(尤1 + X2 尸-4X^2; (4) Xy + X23 =(工1 + x2 )3 - 3玉工2 (羽 + X2); (5) Xi 一了2 =+了2 )2 - 4曷工2 ; (6) xx -X2 =±」(X] +x2 )2 -4x^2 ; (7) 22 xxx2 +工1 x2= xxx2 + (尤1 + 工2 ); (8) |xj + |x2| =」(乂1 + x2)2 -2x1x2+2|x1x2| . 五、实际应用: 1、知识结构 2、知识要点归纳 由实际情景加工整理成抽象实际的问题,通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而 产生的问题称为数学应用问题,数学应用题是经过加工的数学应用问题,是呈现在我们中学生面前的数学 应用问题. 从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. (1)加工“背景”:让背景材料为学生所熟悉的材料;让背景材料较为简洁. (2)加工“数学”:让“数学化”的过程较为简单,让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是 学生所能接受的. (3)加工“检验”:在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题,有验证 的意识就可以了. 3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤 (1)找一一找出题中的等量关系 (2)设一一设未知数 (3)列一一列出方程,即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 (4)解一一解出所列的方程 (5)验一一将方程的解代入方程中检验,回到实际问题中检验 (6)答一一作答下结论 4、中考改革趋势 一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一,它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单 分式方程的应用、一元一次方程的应用一样,随着改革的继续而更富有时代的气息,更宣于生活化,更贴 近学生的实际. 考点回放 1考察一元二次方程概念 1. (年鄂尔多斯)下列方程不是整式方程的是() 1-―9 „X + 31_ 0 - A、= 3 B、2侦v + 7xy + = 0 C、— = x + —D、7m2 = 1 x + 2V7-V32 2. (年湖北随州)下列方程不是一元二次方程的是() A、V6y2+ 2y +1 = 0B、— m2 =l- — m 11 Q C、一P2— — p + —= 0D、x2+x-l=x2 106 4 3. (年陕西西安)方程(m + 2)J”、3mx + l = 0是关于x的一元二次方程,则所的值为( A、m = ±2 B、m = 2 C、m =-2 4. (年武汉)一元二次方程-5%2 +%-3 = 0,把二次项系数变为正数,且使方程的根不变的是() A、— x + 3 = 0 B、— x — 3 = 0C5x~ + x — 3 = 0 D、5x~ + x + 3 = 0 2考察一元二次方程根的概念 1. (江苏苏州)若一元二次方程X? —(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=. 2. (河北)已知x=l是一元二次方程x2 + mx +n = 0的一个根,贝m2 + 2mn + n2的值