中考数学专题复习一元二次方程

专题一一元二次方程 知识要点扫描归纳 一基本概念 1. 方程定义含有未知数的等式叫方程。 2. 方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3. 解方程求方程的解的过程叫做解方程。 4. 一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一 般形式为 ax2 bx c O 。吝0. 二、一元二次方程的解法 1. 直接开方法 1 用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一 个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2. 配方法 1 用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的 数学方法. 2 配方的关键步骤是在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是 a 土 2ab b2 a Z2 3 配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3. 公式法 1 用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法. b b 厂 2 一元二次方程ax2 bx c 0。/ 0求根公式是x 2a 3 在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定a,A,c的值，在b2-4acQ的情况下代 入求根公式即可求解. 4. 因式分解法 1. 对于在一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这 个方程。 2. 理论依据两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。例如如果X-13 5 0, 那么x10或x50。因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。 3. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 1 将方程的右边化为零； 2 将方程左边分解成两个一次因式的乘积； 3 令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； 4 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 4. 形如ax2 bx OaQ的方程，可用提公因式法求方程的根呵0, x,一兰口 / 0。 a 5. 形如ax m2 -bx n2 0 a2 b2的方程，可用平方差公式把左边分解。 三、一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2 bx c 0。 0的根的判别式4ac 1 A〉。。方程有两个不等实数根. 2 A 0方程有两个相等实数根. 3 △〈O。方程无实数根. 4 A0方程有两个实数根. 淤运用根的判别式时要注意关于x的方程ax2bx c 0有两个实数根和实数根的区别在于 若有两个实数根，则△,且qaO.若有实数根，则分两种情况①A0；②。0 四、一元二次方程根与系数关系韦达定理 1. 若一元二次方程ax2 bx c O 70的两个实数根为玉,,0 则玉 ，尤］，尤2 一 一a a 2. 以为根的一元二次方程可写成- .Xj .x2 .X .Xj.X, 0 3. 使用一元二次方程ax1bx c Q 。/0的根的判别式△ 4ac解题的前提是二次项系数 。尹0 4. 不解方程，求关于一元二次方程的两个实数根羽,勺的对称式的值的方法是先将式子化成只含 玉也，天也的形式，然后利用根与系数的关系代入求值.要特别注意如下公式 1 2 x22 工1 工2； 2 -2x}x2 ； 2 11 xY x2 ； 工1 x2 xxx2 3 3 -尤2 I 尤1 X2 尸-4X2； 4 Xy X23 工1 x2 3 - 3玉工2 羽 X2; 5 Xi 一了2 了2 2 - 4曷工2 ； 6 xx -X2 」X] x2 2 -4x2 ; 7 22 xxx2 工1 x2 xxx2 尤1 工2 ； 8 |xj |x2| 」乂1 x22 -2x1x22|x1x2| . 五、实际应用 1、知识结构 2、知识要点归纳 由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而 产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学 应用问题. 从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”. （1）加工“背景”让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁. （2）加工“数学”让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是 学生所能接受的. （3）加工“检验”在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证 的意识就可以了. 3 解一元二次方程的数学应用题的一般步骤 （1）找一一找出题中的等量关系 （2）设一一设未知数 （3）列一一列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式 （4）解一一解出所列的方程 （5）验一一将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验 （6）答一一作答下结论 4、中考改革趋势 一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单 分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴 近学生的实际. 考点回放 1考察一元二次方程概念 1. （年鄂尔多斯）下列方程不是整式方程的是（） 1-9 „X 31_ 0 - A、 3 B、2侦v 7xy 0 C、 x D、7m2 1 x 2V7-V32 2. （年湖北随州）下列方程不是一元二次方程的是（） A、V6y2 2y 1 0B、 m2 l- m 11 Q C、一P2 p 0D、x2x-lx2 106 4 3. （年陕西西安）方程（m 2）J”、3mx l 0是关于x的一元二次方程，则所的值为（ A、m 2 B、m 2 C、m -2 4. （年武汉）一元二次方程-52 -3 0，把二次项系数变为正数，且使方程的根不变的是（） A、 x 3 0 B、 x 3 0C5x x 3 0 D、5x x 3 0 2考察一元二次方程根的概念 1. （江苏苏州）若一元二次方程X （a2）x2a0的两个实数根分别是3、b,则ab. 2. （河北）已知xl是一元二次方程x2 mx n 0的一个根，贝m2 2mn n2的值