中考数学复习一次函数的图象和性质专题训练
中考数学复习一次函数的图象和性质专题训练 一、知识要点: 1. 正比例函数和一次函数是分别用y =和y = kx+b(k^O)来定义 的,其中x是自变量,V是自变量的函数,k是自变量的系数,是常数,这两种 函数解析式都是方程,而且它的图象上的点的坐标都是对应方程的解,因此,一 次函数与一次方程有密不可分的关系。 2. 课本中,用具体的函数利用描点法得出正比例函数y = k«k丰0)和一次函 数y = kx+b(I0)的图象都是一条直线,既然是一条直线,我们只要描出两点即 可确定该直线。因为正比例函数是过原点的直线,当然坐标原点是所描的两点中 的一个,另外一个是x = l时y=k就是点(1,幻,所以正比例函数的图像是过(0, 0)、(1, k)两点的直线。而一次函数与两条坐标轴各有一个交点(注意:与x 轴、y轴交点的坐标是极其重要的),那么“两点确定一条直线”中的两点就可以 取这两个交点,由于一次函数与x轴的交点必在x轴上,而在x轴上的点的特点 是纵坐标为0,即:在一次函数y = kx+b(k^O)中,当y=0时可得kx+b=0,解 b .b 此方程得X=-—,从而得出一次函数y = kx+b(k^0)与x轴交于0)点; kk 同理,由一次函数y = kx+b(k^0)与y轴交点的横坐标为0可以得出:它与y 轴的交点为(0, b);因此一次函数y = kx+b(k^0)的图象是过它与x轴的交点 (4, 0)和它与y轴的交点(0, b)两点的直线。(实践证明,很多同学不会 k 求直线与轴的交点坐标,这是不会解一些一次函数题目的直接原因)。例如描述 y = 2x-5的图象:令x = 0得y = -5,令y = 0,得x =;,所以y = 2x-5的图像是过y 轴上的(0, -5)和x轴上的(:,0)两点的直线。 5 2 A(0,5) 3. y = kx+b的图象的性质中k>0, y随x的增大而增大,k 0,(0,b)在y轴的正半轴上,直线与 y轴交于正半轴,人Q,b>Q^y = kx+b^]图象在一、二、三象限 丁x ② k>O,Z? vOu> y =奴+人的图象在一、三、四象限 0 x y ③ y0u图象在一、二、四象限\()x y ④ y<0,人<0 =图象在二、三、四象限 0 x 4. 如果在x轴上有两个点A(X],0)W(x2,0),则A、B两点的距离是|X2—xi|, 如(-1,0)和(3, 0)两点的距离就是|3-(-1)|=4,在y轴上有两点A(0, yi)和B(0, y2), 则A、B两点的距离是|y2-yi|,如(0, 2)和(0, -5)的距离是|-5-2|=7。 v — kx + b 5. 两条直线y, =kix + b]和% =知+力的交点坐标是方程组• I 「 的 y2 =k2x + b2 r_3 __-[y = x- 2■ X ~ 4 解.如y=x-2和y=-3x+l的交点坐标就是方程组I的解 即交点 y = -3x + 15 3 5 坐标是(-土-三)。 4 4 6. 利用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式,一般步骤是: ① 先设出函数的一般形式,如求正比例函数解析式时,先设y = kx,求一次 函数的解析式时,先设y = kx+bo ② 将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于 待定系数的方程或方程组。 ③ 解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式。 (注意:求正比例函数,只要一对的值就可以,因为它只有一个待定系数; 而求一次函数y = kx+b则需要两组的值。) 二、例题: 例1 :已知y - 3与x成正比例,且x = 2时y = 7 (1) 求y与》间的函数解析式. (2) 求当x = 3Ht,y的值. ⑶求当y = -3时,X的值 解:(1)\-3与》成正比例 「・ y - 3 = kx(k 丰 0) 把X = 2, y = 7代入上式得k=2 y - 3 = 2x 即y = 2x4-3 注意:[1]因为y-3与x成正比例,把y-3看成一个变量 [2] y-3与工成正比例,设y-3 = Alx. (2) 当 x = 3时,y = 2x3 + 3 = 9. (3) 当 y —3时,2x + 3 = —3,x = —3. 例2:已知一次函数的图象经过(1,1)和(-1,-5) 求(1)此函数解析式. (2)求此函数与x轴,y轴的交点坐标及它的图象与两坐标轴围成的三角形 面积. (3)设另一条相干直线与此一次函数图象交于(-l,m)点,且与y轴交点的纵 坐标是4,求这条直线的解析式. 解:(1)设一次函数的解析式是y = kx+b 将 x = 1, y = 1 和 x = -1, y = -5 代入得(“+ ”】 I 一 k + b = -5 解得“=3 b = —2 此一次函数解析式为y = 3x-2 2 ⑵对y = 3x — 2,令X = 0, y = —2贝I]图象与球由父/ A(0,-2)令y = 0得x =-, 则此函数与x轴交于B(|,0).y/ 图象与两坐标轴围成的三角形面积%B(-,0)x 是SAAOB,其底长| : |个单位,高|-2|=2A(0,-2) 个单位. 1 ?2 .L SAAOB=-x2x- = - 2 33 (3)由于(-l,m)即在y = 3x-2图象上,又在所求的另一条直线上,所以(-l,m)满 足y=3x-2,将x=-l,y=m,代入y=3x-2得m=-5,所以两直线交于(-1,-5),说明第二条直 线也经过(-1,-5)且还经过(0,4). H 设另一条直线为yi=kix+b,将x=-l,y=-5.x=0,y=4代入得 b[= 4 .[k = 9 [b = 4 第二条直线的解析式是y=9x+4. 例3:一次函数y=2x+3的图象与y轴交于A,另一个次函数图象与y轴交于B, 两条直线交于C,C点的纵坐标是1,且SAABC=16,求另一条直线的解析式. 解:Vy=2x-3 与 y 轴交于 A(0,-3) 设另一条直线的解析式是y=kx+b,则它与y轴交于B(0,b) 两直线交于C,c的纵坐标是1,设C(x,l) . .C 在 y=2x-3 上 .•.将y=l代入y=2x-3中得x=2 •.•C的坐标是(2,1) 画草图分析 则 AABC 的底 AB=|b-(-3)|=|b+3| 高是C点的横坐标|2|=2 由题意得?x|“ + 3|・2 = 16 y y=2x-3 y=kx+b |b+3|=16 b+3=16或b=-19则函数解析式是y=kx+13或y=kx-