中考数学复习指导:求线段长度问题的一般方法
求线段长度问题的一般方法 求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一,笔者就此类问题作了一些思考与归纳, 供大家参考. 一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解 例 1 如图 1, ® RtNABC , ZACB = 90° , CD 1 AB 于 D, AC = 6, BC = 8,求 CD的长. 简解 由勾股定理,得AB = 10再由三角形的面积公式,得 Sy abc =?x6x8 = ^xlOx CD 于是得CD = 4.8. 例 2 如图 2,在VA3C 中,£4 = 30。,tanB = -, 3C =而,求 A3 的长. 3 简析 作CD1AB于点D,这样就构造了两个RN. S RtNBCD 中, CD 1 tan3 = — = 一, DB = 3CD DB 3 由勾股定理,得CD = 1, BD = 3. 在RNACD中, AD — V3 ,从而 AB — a/3 + 3. 例3如图3,在平面直角坐标系中,。A与y轴相切于原点。,平行于x轴的直线交 0 A于两点M , N .若点M的坐标是(—4,—2),求点N的坐标. |F 图3 简析如图3,作AELMN于点E, 连AM, AN,则构造了两个直角三角形RtNAME , RtNANE. 不妨设AO = AM=R,易得 y?2 =22+(4-7?)2 :.R = 2.5 , EN = Em = 4 _ 2.5 = \.5 .•.NF = 2.5 —1.5 = 1 从而点N的坐标为(-1,—2). 例4 如图4,点E、0、C在半径为5的0 A±, BE是OA上的一条弦, 4 cosZOBE = — , ZOEB = 30° ,求 3C 的长 5 简析 连EC,由条件可知,图中有四个直角三角形,分别是VOEC , NOEF , NEBC, NFBC. ZCOE = 90° , EC 为。A 的直径, ZCBE = 90°, 又 ZOCE = ZOBE, 4 cos ZOCE = cos ZOBE =—, 在RtNOEC 中,易知0C = 8, 0E = 6, 在 RtNOEF 中,ZOEB = 30。, 0E = 6, 得 OF = 2a/3 . FC = OC-OF = 8-2V3 , 又 ZOEB = ZOCB = 3Q。, 故在RfVFBC中,由边角关系,得 BC = M — 3. 说明上述几例是将此线段置于某直角三角形之中,然后利用直角三角形的相关知识加 以求解.值得注意的是,构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联,才能使问题化 繁为简,迅速求解. 二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解 例 5 如图 5,梯形 ABCD 中,AB//CD, S.AB = 2CD, E、F 分别是的 AB, BC 的中点,EF与相交于点肱. (1) 求证:NEDM : NFBM ; (2) 若3D = 9,求的长. 简解(1)由题意,易得四边形BCDE是平行四边形.于是,有 BC//DE , :. NEDM : NFBM BM FB (2)由 VEDM : NFBM ,得——=— DM DE :.BF = LbC = JdE 22 . BM _ ] “9-BM ~2 BM = 3. 例6如图6,矩形ABCD中,AD = 5, AB = 7,点E为DC上一个动点,把VADE 沿AE折叠,当点D的对应点£> 落在ZABC的平分线上时,求DE的长. 解过点D 作D M ±AB于点并反向延长交DC于N.由题意,得 ZMBD = 45° ,设D M =BM =x Al\d =7 — x 在RNAD M 中, 有 F+(7 —x)2 =25, 解得%! = 3 , x2 =4. ;.D N = 5 — x = 2,或 1. 易知 VED N : ND AM ED 2 “ ED 1 -,或- 5 4 53 ED = :ED = - 「 5 ,或一. 2 3 例7如图7,在RtNABC中,ZACB = 90°, BE平分ZABC交AC于点E ,点D 在 AB 上,DEI BE 于点 E, AD = 6, AE = 6他向东走了 400米至B处,测的灯塔P在北偏东30。方向上.求灯塔P到滨海路的距 离. 图10 解作 PD 1AB 于点 D .设/PAD = a,ZPBD = “D = x,BD = y,AD = z, AB = a. Xy 在 RtAPAD 与 Rt APBD 中,有2 =,y =, tan atan & t闩x x 于是 z_y ==a, tan a tan p tan a • tan ” x =a. tan 月—tan a 这里 a = 30°, & = 60°, i = 400 , 代入得x = 200V3.