中考数学复习指导：求线段长度问题的一般方法

求线段长度问题的一般方法 求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳， 供大家参考. 一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解 例 1 如图 1, RtNABC , ZACB 90 , CD 1 AB 于 D, AC 6, BC 8,求 CD的长. 简解 由勾股定理，得AB 10再由三角形的面积公式，得 Sy abc x6x8 xlOx CD 于是得CD 4.8. 例 2 如图 2,在VA3C 中，4 30。，tanB -, 3C 而，求 A3 的长. 3 简析 作CD1AB于点D,这样就构造了两个RN. S RtNBCD 中， CD 1 tan3 一, DB 3CD DB 3 由勾股定理，得CD 1, BD 3. 在RNACD中， AD V3 ,从而 AB a/3 3. 例3如图3,在平面直角坐标系中，。A与y轴相切于原点。，平行于x轴的直线交 0 A于两点M , N .若点M的坐标是（4,2）,求点N的坐标. |F 图3 简析如图3,作AELMN于点E, 连AM, AN,则构造了两个直角三角形RtNAME , RtNANE. 不妨设AO AMR,易得 y2 224-72 .R 2.5 , EN Em 4 _ 2.5 \.5 ..NF 2.5 1.5 1 从而点N的坐标为-1,2. 例4 如图4,点E、0、C在半径为5的0 A, BE是OA上的一条弦， 4 cosZOBE , ZOEB 30 ,求 3C 的长 5 简析 连EC,由条件可知，图中有四个直角三角形，分别是VOEC , NOEF , NEBC, NFBC. ZCOE 90 , EC 为。A 的直径， ZCBE 90, 又 ZOCE ZOBE, 4 cos ZOCE cos ZOBE , 在RtNOEC 中，易知0C 8, 0E 6, 在 RtNOEF 中，ZOEB 30。, 0E 6, 得 OF 2a/3 . FC OC-OF 8-2V3 , 又 ZOEB ZOCB 3Q。, 故在RfVFBC中，由边角关系，得 BC M 3. 说明上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加 以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联，才能使问题化 繁为简，迅速求解. 二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解 例 5 如图 5,梯形 ABCD 中，AB//CD, S.AB 2CD, E、F 分别是的 AB, BC 的中点，EF与相交于点肱. 1 求证NEDM NFBM ； 2 若3D 9,求的长. 简解1由题意，易得四边形BCDE是平行四边形.于是，有 BC//DE , . NEDM NFBM BM FB 2由 VEDM NFBM ,得 DM DE .BF LbC JdE 22 . BM _ ] 9-BM 2 BM 3. 例6如图6,矩形ABCD中，AD 5, AB 7,点E为DC上一个动点，把VADE 沿AE折叠，当点D的对应点落在ZABC的平分线上时，求DE的长. 解过点D作DM AB于点并反向延长交DC于N.由题意，得 ZMBD 45 ,设DM BM x Al\d 7 x 在RNADM 中， 有 F7 x2 25, 解得 3 , x2 4. ;.DN 5 x 2,或 1. 易知 VEDN NDAM ED 2 “ ED 1 -,或- 5 4 53 ED ED - 「 5 ,或一. 2 3 例7如图7,在RtNABC中，ZACB 90, BE平分ZABC交AC于点E ,点D 在 AB 上，DEI BE 于点 E, AD 6, AE 6 1 判断直线AC与VDBE的外接圆的位置关系，并说明理由； 2 求BC的长. 简解 ⑴由ZDEB 90。,DB为ADBE外接圆的直径.设ADBE外接圆的圆心为0 , 连0E,易知 OE-BD. 2 ■OE OB,. Z1 Z2 . 又 Z1 Z3,Z2 Z3,OE 〃 BC. BCLAC,.-.OEAC. 故直线AC与ADBE的外接圆相切. 2易知 Z4 Z5 Z3 Z5 90, Z4 Z3, 又因 Z1 Z3,.\ Z4 Z1. ZA ZA,AAED 0 AABE , ae2adab. 由 AD 6,AE 62,得 AB 12, 进而得 BD 6,0E 3. 由 OE//BC ,有 MEODAACB, EO AO39 “ ， , ,BC 4. BC AB BC 12 说明上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该 线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解. 三、利用条件，构造方程组求线段长 例8 1如图8,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，求矩形ABCD的面积. 解设矩形的宽与长分别为x,.y 2y 5x[x 4 则有-，解之得 x 3y 34[ y 10 故 S 矩形 abcd 7xy 280 - 例9如图9,0 0是AABC的内切圆，与三边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F ,若 AB 5,BC 6,AC 1,求 AD,BE,CF 的长. 解由切线长定理，可设 CE CF z. AD AF x, BD BE _y , 由题意得 y 2. 故 AD 3,BE 2,CF 4. 例10如图10,李明同学在东西走向的滨海大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60。 方向上;他向东走了 400米至B处，测的灯塔P在北偏东30。方向上.求灯塔P到滨海路的距 离. 图10 解作 PD 1AB 于点 D .设/PAD a,ZPBD D x,BD y,AD z, AB a. Xy 在 RtAPAD 与 Rt APBD 中，有2 ,y , tan atan t闩x x 于是 z_y a, tan a tan p tan a tan ” x a. tan 月tan a 这里 a 30, 60, i 400 , 代入得x 200V3.