中考数学复习指导:构造二次函数巧解题
构造二次函数巧解题 对于很多复杂问题,若能转化为对数量关系的探索,借助函数分析,往往能优化解题 过程、化繁为简、化难为易.今以构造二次函数解题为例予以说明,以供读者参考. 例1若xi,x2 (x!0)的两个交点的横坐标,由于a> p大小未定,参照图2(1),则 有avl且|3>2,参照图2(2),则有pvl且a>2.故D是正确的. 例3若关于x的一元二次方程ax2+2x-5 = 0的两根中有且仅有一根在0和1之间 (不含0和1),则a的取值范围是() (A) a3 (C)a-3 解析 当 x=0 时,函数 y=ax2+2x—5 = —5;当 x=l 时,函数 y=a+2—5=a—3.又 关于x的一元二次方程ax2+2x—5 = 0的两根中,有且仅有一根在0和1之间(不含0和1), 所以当x=l时,所对应的点必在x轴的上方,贝Uy=a—3>0,即a>3.故选B. 例4下列命题:①若a+b+c=0,则b2—4ac0,则二次函数y=ax2+bx+c的图 象与坐标轴的交点的个数是2或3;④若b>a+c,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 不相等的实数根.其中正确的是() (A)②④(B)①③ (C)②③(D)③④ 解析 式子a+b+c可以看作函数y=ax2+bx+c当x=l时所对应的y值,由a+b +c=0,可知抛物线y=ax2+bx+c与x轴至少交于一点(1, 0),则b2—4ac^0,故①错误; 由 b=2a+3c,可求得 b2—4a, c=4(a+c)2+5c2 >0,「・方程 ax2+bx+c=0 有两个不 相等的实数根,故②正确; ・.・b2-4ac>0, 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,.二次函数y=ax2 +bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3 (此时,抛物线不过原点)或2 (此时,抛物 线过原点),故③正确; 式子a—b+c可以看作函数y=ax2+bx+c当x= — 1时所对应的y值.由b>a+c.可 得a—b+cvO,则当x= — 1时,yb),若(x+2) ©x2=x+2,那么x的取值范围是() (A)-l4n. 又抛物线y=4x2—2mx+n开口向上,且关于x的方程4x2 —2mx+n=0的两个实数根 都大于1,且小于2,则必有x=l时,y=4—2m+n>0,且x=2时,y = 16—4m+n>0. 设方程4x2—2mx+n=0两根为x【,x2,由根与系数的关系,可知 mn Xi 十X2 = — , X]X2 =—. 24 VXi, X2都大于1,且小于2, 20, m尹5; (2) 当 m=6 时, 由 m2>4n,,得 n=5, 6, 7, 8. Vn=8 时,不满足 4—2m+n>0, 16—4m+n>0. n=5, 6, 7; (3) 当 m=7,由 m2—4n>0,得 n=5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Vn=10, 11, 12 时,不满足 4-2m+n>0, 16—4m+n>0, .*.n=5, 6, 7, 8, 9. 综上,m、n的值共有以下几组: m=6, n=5; m=6, n=6; m=6, n=7; m=7, n—5; m=7, n=6; m=7, n—7; m=7, n=8; m=7, n=9. 例8设a、b、c为实数,且满足a—b+c 0,则下述结论中正确的是() (A) b2> 4ac (B) b2^4ac,且 a乂0