中考数学复习指导：构造二次函数巧解题

构造二次函数巧解题 对于很多复杂问题，若能转化为对数量关系的探索，借助函数分析，往往能优化解题 过程、化繁为简、化难为易.今以构造二次函数解题为例予以说明，以供读者参考. 例1若xi，x2 xx2是方程Xa xb 1 ab的两个根，则实数x” X2，a, b的大小关系为 知,1[ 幅,1 Axix2ab _r 二 BxiaX2b 即、 7 x Cxiabx2图 I DaXibX2 解析 易知抛物线y xa xb开口向上， 且a、b ab分别是抛物线与横轴的左、右两个交点的横坐标；又由x】、x2 xix2是 方程x-a x-b 1的两个根，可知xi、X2分别是抛物线与直线yl的左、右两个 交点的横坐标，结合图1,则有xiabx2.故选C. 例2设一元二次方程Xlx2 mm0的两实根分别为a、［3,则a、。满足 Alap2 5、. 加,m伽、 Ra两 / ym Bl a2 p .J.__ \ Calp2 七 72,0 X l,o\ /2,0 x Dal 且 p2 1 ⑵ 图2 解析 与上例类似，易知抛物线yx -1x-2开口向上，与横轴分别交于点1, 0和点2, 0；又由方程X1 X2 mm0的两实根分别为［3,可知a、。分别 是抛物线与直线ymm0的两个交点的横坐标，由于a p大小未定，参照图21,则 有avl且|32,参照图22,则有pvl且a2.故D是正确的. 例3若关于x的一元二次方程ax22x-5 0的两根中有且仅有一根在0和1之间 不含0和1,则a的取值范围是 A a3Ba3 Ca-3Da-3 解析 当 x0 时，函数 yax22x5 5；当 xl 时，函数 ya25a3.又 关于x的一元二次方程ax22x5 0的两根中，有且仅有一根在0和1之间不含0和1, 所以当xl时，所对应的点必在x轴的上方，贝Uya30,即a3.故选B. 例4下列命题①若abc0,则b24ac0；②若b2a3c,则一元二次方程 ax2bxc0有两个不相等的实数根；③若b24ac0,则二次函数yax2bxc的图 象与坐标轴的交点的个数是2或3；④若bac,则一元二次方程ax2bxc0有两个 不相等的实数根.其中正确的是 A②④B①③ C②③D③④ 解析 式子abc可以看作函数yax2bxc当xl时所对应的y值，由ab c0,可知抛物线yax2bxc与x轴至少交于一点1, 0,则b24ac0,故①错误; 由 b2a3c,可求得 b24a, c4ac25c2 0,「・方程 ax2bxc0 有两个不 相等的实数根，故②正确； ・.・b2-4ac0, 抛物线yax2bxc与x轴有两个不同的交点，...二次函数yax2 bxc的图象与坐标轴的公共点的个数是3 此时，抛物线不过原点或2 此时，抛物 线过原点，故③正确； 式子abc可以看作函数yax2bxc当x 1时所对应的y值.由bac.可 得abcvO,则当x 1时，y0.此时抛物线yax2bxc与x轴可能没有交点， 也可能有一个或两个交点，是不确定的，即b2-4ac可能是小于0、等于0或大于0,故一 元二次方程ax2bxc0可能没有实数根，也可能有两个相等或不相等的实数根，④是 错误的.故选C. 例5现定义某种运算a㊉baab,若x2 x2x2,那么x的取值范围是 A-lx2 B x2 或 x-1 解析 由题意，应有x2x2,即x2-x-20.设yx2-x-2,由于抛物线开口向上， 并且与x轴交点是一1, 0, 2, 0,结合图象可知，当一lx2时，y0,即x的取值 范围是一1 x2.故选A. 例6元二次方程X a2-l x a-2 0的一个根比1大，另一个根比1小， 则实数a的取值范围是. 解析 显然抛物线yx2a2lx a2开口向上，又方程x a2 1 xa -20的一个根比1大，另一个根比1小，则应有xl时，ya2a-20. 而关于a的抛物线ya2a-2也是开口向上，且与横轴分别交于点一2, 0、1, 0,结合图象可知ya2a-20的解集为一2al. 故实数a的取值范围是一2al. 点评 函数思想是基本的数学思想，方程组、不等式组问题可以在函数的观 点下统一起来，应用函数的思想解题，是将静止的问题放到一个动态过程中去考察，将局 部的问题置于全局上去解决. 例7若m, n均为正整数，关于x的方程4x22mxn0的两个实数根都大于1, 且都小于2,试求m, n的值， 解析..关于x的方程4x2-2mxn0有两个实数根， ..△A2m216n0, ..m24n. 又抛物线y4x22mxn开口向上，且关于x的方程4x2 2mxn0的两个实数根 都大于1,且小于2,则必有xl时，y42mn0,且x2时，y 164mn0. 设方程4x22mxn0两根为x【,x2,由根与系数的关系，可知 mn Xi 十X2 , X]X2 . 24 VXi, X2都大于1,且小于2, ..24, 1 4, 24 结合m, n均为正整数，可分为以下三种情形讨论 1 当m5时，由m2 4n,得n5或6,但均不满足42mn0, m尹5； 2 当 m6 时， 由 m24n,,得 n5, 6, 7, 8. Vn8 时，不满足 42mn0, 164mn0. n5, 6, 7； 3 当 m7,由 m24n0,得 n5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Vn10, 11, 12 时，不满足 4-2mn0, 164mn0, .*.n5, 6, 7, 8, 9. 综上，m、n的值共有以下几组 m6, n5； m6, n6； m6, n7； m7, n5； m7, n6； m7, n7； m7, n8； m7, n9. 例8设a、b、c为实数，且满足abc 0, abc 0,则下述结论中正确的是 A b2 4ac B b24ac,且 a乂0