课下层级训练(五十一)定点、定值与探索性问题
课下层级训练(五十一)定点、定值与探索性问题 [A级基础强化训练] 2 2B 1. (2019 •山东日照月考)已知椭圆G 土+%=l(a〉力〉0)的离心率为斗,点(2,彖)在C上. a b2y (1)求。的方程; (2)直线/不过原点。且不平行于坐标轴,,与。有两个交点』,B,线段43的中点为泌 证明:直线做的斜率与直线/的斜率的乘积为定值. 【答案】⑴解 由题意有正三=半,4+^=1, a 2 a b 食牟得决=8, 4=4. 22 X V 所以。的方程为石+丁=1・ o 4 (2)证明 设直线/: y= kx+ b(k手0,人尹0),力(矛1, yi), B(x2,巧),M(xm, Ym). 22 X V 将 y= kx+ b 代入1, o q 得(2爵1)系+4盛¥+2廿一8=0. 1, xi +烫—2kb ,, , b 故x尸下一=云耳p乃=A・xS=云耳p 于是直线伽的斜率koM=—= —^7, xm Zk 即 kou , k=一号. 所以直线做的斜率与直线1的斜率的乘积为定值. 2. (2019 -河南开封预测)已知动圆〃恒过点(0, 1),且与直线y= —1相切. (1)求圆心彤的轨迹方程; (2)动直线/过点夕(0, -2),且与点〃的轨迹交于九3两点,点。与点3关于y轴对称,求证:直线 恒过定点. 【答案】⑴解 由题意,得点〃与点(0,1)的距离始终等于点财到直线尸一1的距离,由抛物线定义知圆 心沮的轨迹为以点(0,1)为焦点,直线y= —1为准线的抛物线,则壹=1,P=2. :.圆心〃的轨迹方程为书=4, (2)证明 由题知,直线7的斜率存在, 「・设直线/: y=kx—2,,(矛1, yi), B3,乃),则 C(—X2,乃), [x =4y, 联立<得4#x+8 = 0, [y=kx—2, xi +脂=4A, .矛1贬=8. 22 乃—巧44矛1一脂 AC xi + x2 xi+x2 4 则直线才。的方程为夕一刀1=夕耳及(才一力), 2 nn. X1 — X2,\ X1~X2 Xi X1~X2. Xi X1~X2 . X1X2 即 y=*】+^^(x一为)=一^才4+^=^^x+~- Q ・ X1 一茂X1 一必 ・ x\x2=8, y=―-—x十—j—=―-一x-\- 2, 故直线恒过定点(0, 2). 22 3. (2018 •山东枣庄期末)已知椭圆G 土+%=13〉力〉0)的短轴长为2%,离心率为 a by 圆。上,半径为2,直线y=k、x与直线y=kU圆E的两条切线. (1)求椭圆。的标准方程; ⑵试问:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 【答案】解 (1)由 2b=2y[5得 b=y[5, V e=-=^-, A^=7, “a l a 4 222 段—5 3 z 22 Va = Z? +c ,—=“,解得 a =20, Z? =5, a 4 椭圆。的标准方程为京+m=l. ⑵设E(x°,贝),•直线y=kiX与圆压(x一鼠斗。一其尸=4相切,.的^^=2 • 皿?+1 整理得(蝮一4) Ai — 2罚贝)幻+摇一4=0, 同理可得(Ao—4)氐—2不0贝血+摇一4=0, 护一4 .••知E方程(xl)j-2xg+真-4 = 0的两个根,.••砧==. 22 X V 又E3,贝)在椭圆G —+—=1 ±, ZU O .•顶=5(1-备) 故kik2的定值为一j. [B级能力提升训练] 22n ,过原点。作两条 4. (2019 •安徽马鞍山模拟)已知椭略+分=l(QQ0)经过点(1,,),离心率为2直线%, 11,直线%交椭圆于0, C,直线2交椭圆于3 D, ^.\AB\2+\BC\2+\CD\2+\DA\2=^. (1)求椭圆的方程; ⑵若直线%, ▲的斜率分别为知 知 求证:•妁为定值. 【答案】⑴解 由题意知,M+£=l且*=明,a=lj+c,解得a2 = 4,甘=2, a b a z 22 V Y 故椭圆的方程为5+^=1 • (2)证明由对称性可知,四边形』时是平行四边形, 设』(xi, yi), B3,乃),则 C(~xi, — yi), D( —一.再), 22 由十+令=1,得寸=4—2孑, \AB\2+\BC\2+\CD\2+\DA\2^2{\AB\2+\DA\2) =2[(矛1一 及)?+ (j^—J2)2+ (矛i +及)?+ (yi +乃)2] =4(搭+“+#+展) =4 (紫+“+4—2ai+4—2“) 16—8 痍一8 搭+4 搭“ =2,故 4—2 搭 4—2£ 71乃 _ X\X2 =4X (8—A?—=24, 所以 xi + x2 = 2f \ki • k2\ = I ki •血|为定值2. 5. (2018 -湖南张家界三模)已知椭圆C: J+^=l(a>A>0)的离心率为誓,且椭圆过点将,易.过点(1,0) 做两条相互垂直的直线%、&分别与椭圆。交于R Q、从义四点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若正 =克PT=TQ,探究:直线57是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由. 「里 __ a 2Z?2 L (a=2, 【答案】解(1)由题意知,< a=b2+c\解得0, Xi + ¥ = 2妙+1 X1X2 — 2妙+1 ・.・用中点7的坐标为 同理,洌中点S的坐标为卜有,控刁 ・.・直线57的方程为 L k -3k ( 艘) y+2^+l=2 ^2-1 ^-2A2+1J 即y= ~希当一|j, .,•直线 S7过定点E,。); 当两直线的斜率分别为0和不存在时,则直线S7的方程为y=0,也过点0 综上所述,直线S7过定点后,0)