课下层级训练（五十一）定点、定值与探索性问题

课下层级训练（五十一）定点、定值与探索性问题 [A级基础强化训练] 2 2B 1. （2019 山东日照月考）已知椭圆G 土l（a〉力〉0）的离心率为斗，点（2,彖）在C上. a b2y （1）求。的方程； （2）直线/不过原点。且不平行于坐标轴，，与。有两个交点』，B,线段43的中点为泌 证明直线做的斜率与直线/的斜率的乘积为定值. 【答案】⑴解 由题意有正三半，41, a 2 a b 食牟得决8, 44. 22 X V 所以。的方程为石丁1・ o 4 （2）证明 设直线/ y kx b（k手0,人尹0）,力（矛1, yi）, B（x2,巧），M（xm, Ym）. 22 X V 将 y kx b 代入1， o q 得（2爵1）系4盛2廿一80. 1, xi 烫2kb ,, , b 故x尸下一云耳p乃A・xS云耳p 于是直线伽的斜率koM 7, xm Zk 即 kou , k一号. 所以直线做的斜率与直线1的斜率的乘积为定值. 2. （2019 -河南开封预测）已知动圆〃恒过点（0, 1）,且与直线y 1相切. （1）求圆心彤的轨迹方程； （2）动直线/过点夕（0, -2）,且与点〃的轨迹交于九3两点，点。与点3关于y轴对称，求证直线 恒过定点. 【答案】⑴解 由题意，得点〃与点（0,1）的距离始终等于点财到直线尸一1的距离，由抛物线定义知圆 心沮的轨迹为以点（0,1）为焦点，直线y 1为准线的抛物线，则壹1，P2. .圆心〃的轨迹方程为书4, （2）证明 由题知，直线7的斜率存在， 「・设直线/ ykx2,，（矛1, yi）, B3,乃），则 C（X2,乃）， [x 4y, 联立＜得4x8 0, [ykx2, xi 脂4A, .矛1贬8. 22 乃巧44矛1一脂 AC xi x2 xix2 4 则直线才。的方程为夕一刀1夕耳及（才一力）, 2 nn. X1 X2,\ X1X2 Xi X1X2. Xi X1X2 . X1X2 即 y*】（x一为）一才4x- .. Q ・ X1 一茂X1 一必 ・ x\x28, .. y-x十j-一x-\- 2, 故直线恒过定点（0, 2）. 22 3. （2018 山东枣庄期末）已知椭圆G 土13〉力〉0）的短轴长为2,离心率为 a by 圆。上，半径为2,直线yk、x与直线ykU圆E的两条切线. （1）求椭圆。的标准方程； ⑵试问是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】解 （1）由 2b2y[5得 by[5, V e--, A7, a l a 4 222 段5 3 z 22 Va Z c ,,解得 a 20, Z 5, a 4 椭圆。的标准方程为京ml. ⑵设E（x,贝），..直线ykiX与圆压（x一鼠斗。一其尸4相切，...的2 皿1 整理得（蝮一4） Ai 2罚贝）幻摇一40, 同理可得（Ao4）氐2不0贝血摇一40, 护一4 .知E方程（xl）j-2xg真-4 0的两个根，.砧. 22 X V 又E3,贝）在椭圆G 1 , ZU O .顶5（1-备） 故kik2的定值为一j. [B级能力提升训练] 22n ,过原点。作两条 4. （2019 安徽马鞍山模拟）已知椭略分l（QQ0）经过点（1,,）,离心率为2直线％, 11,直线％交椭圆于0, C,直线2交椭圆于3 D, .\AB\2\BC\2\CD\2\DA\2. （1）求椭圆的方程； ⑵若直线％, ▲的斜率分别为知 知 求证妁为定值. 【答案】⑴解 由题意知，Ml且*明，aljc,解得a2 4,甘2, a b a z 22 V Y 故椭圆的方程为51 （2）证明由对称性可知，四边形』时是平行四边形， 设』（xi, yi）, B3,乃），则 C（xi, yi）, D（ 一.再）， 22 由十令1，得寸42孑， \AB\2\BC\2\CD\2\DA\22{\AB\2\DA\2） 2[（矛1一 及） （jJ2）2 （矛i 及） （yi 乃）2] 4（搭展） 4 （紫42ai42） 168 痍一8 搭4 搭 2,故 42 搭 42 71乃 _ X\X2 4X （8A24, 所以 xi x2 2f \ki k2\ I ki 血|为定值2. 5. （2018 -湖南张家界三模）已知椭圆C Jl（aA0）的离心率为誓，且椭圆过点将，易.过点（1,0） 做两条相互垂直的直线％、分别与椭圆。交于R Q、从义四点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若正 克PTTQ,探究直线57是否过定点若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 「里 __ a 2Z2 L （a2, 【答案】解（1）由题意知， ab2c\解得 b季, c y[2 2 22 x V 故椭圆的方程为彳初1. （2）..・正克 PTTQ, ..・S、7分别为洌 四的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线％的方程为尸奴x1）, 则直线2的方程为y]（x1）, P3,乃），0（x2,乃），〃（力，73）, N3,归）， | ] 联立〈4 2得（2乃1）侦24七22_4 o, ,y k x 1 ...Z1 24妙160, Xi 2妙1 X1X2 2妙1 ・.・用中点7的坐标为 同理，洌中点S的坐标为卜有，控刁 ・.・直线57的方程为 L k -3k （ 艘） y2l2 2-1 -2A21J 即y 希当一|j, .,直线 S7过定点E，。）； 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线S7的方程为y0,也过点0 综上所述，直线S7过定点后，0）