3.4.1第2课时 相似三角形的判定定理(1)
第3章 图形的相像 相像三角形的判定 第2课时 相像三角形的判定定理(1) 学问点 两角分别相等的两个三角形相像 1.如图3-4-19,D是BC上的一点,∠ADC=∠BAC,则下列结论正确的是( ) 图3-4-19 A.△ABC∽△DAB B.△ABC∽△DAC C.△ABD∽△ACD D.以上都不对 图3-4-20 2.如图3-4-20,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么在下列三角形中,与△ABC相像的是( ) A.△DBE B.△ADB C.△BDC D.以上都对 3.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,则这两个三角形________相像.(填“肯定不”或“不肯定”或“肯定”) 4.如图3-4-21,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点(DE不平行于BC),当∠C=________时,△AED与△ABC相像. 图3-4-21 图3-4-22 5.如图3-4-22,在△ABC中,AD⊥BC,再添加一个条件:______________,可使△ABD∽△CAD. 6.如图3-4-23,锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的一对相像三角形:________________. 图3-4-23 图3-4-24 7.如图3-4-24,AE,BD交于点C,BA⊥AE于点A,ED⊥BD于点D.若AC=4,AB=3,CD=2,则CE=________. 8.如图3-4-25,在△ABC中,AB=AC,D是线段BC上一点,连接AD.若∠B=∠BAD.求证:△ABC∽△DBA. 图3-4-25 9.如图3-4-26,在△ABC中,∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,交AB于点E. 求证:△DME∽△BCA. 图3-4-26 10.2019·江西如图3-4-27,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求证:△EBF∽△FCG. 图3-4-27 11.如图3-4-28,E,F分别在矩形ABCD的边AD,DC上,且∠BEF=90°,则与△DEF相像的三角形是( ) A.△EBF B.△ABE C.△BCF D.以上都不是 图3-4-28 图3-4-29 12.如图3-4-29,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC上,DE与AC相交于点F.若AB=9,BD=3,则CF的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.如图3-4-30,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD于点E,NF⊥AB于点F.若NF=NM=2,ME=3,则AN等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 图3-4-30 图3-4-31 14.2019·益阳期中如图3-4-31,在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2 ,AB=3,则BD=________. 15.如图3-4-32,D,E是△ABC的边AB,AC上的点,∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°. 求证:AD·AB=AE·AC. 图3-4-32 16.如图3-4-33,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处. (1)求证:△BDE∽△BAC; (2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长. 图3-4-33 17.2019·武汉在△ABC中,P为边AB上一点. (1)如图3-4-34(a),若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB. (2)若M为CP的中点,AC=2. ①如图3-4-34(b),若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长; ②如图3-4-34(c),若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,干脆写出BP的长. 图3-4-34 1.B [解析] ∵∠ADC=∠BAC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC. 2.C [解析] 求出选项中各三角形各个角的度数,发觉△BDC中有两个角与△ABC中两个角对应相等,所以它们相像. 3.肯定 [解析] ∵一个三角形的两个内角分别是40°,60°,∴它的第三个内角为80°.又∵另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,∴这两个三角形有两个内角相等,∴这两个三角形肯定相像. 4.∠ADE 5.∠B=∠CAD(答案不唯一)[解析] ∵∠ADB=∠ADC=90°,添加∠B=∠CAD,则△ABD∽△CAD. 6.答案不唯一,如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等 7.2.5 [解析] ∵BA⊥AE,∴BC===5.∵BA⊥AE,ED⊥BD,∴∠A=∠D=90°.又∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△DEC,∴=,即=,∴EC=2.5. 8.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠B=∠BAD,∴∠BAD=∠C. 又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA. 9.证明:∵∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N, ∴∠C=∠ENB=∠DME=90°, ∴AC∥DN,∴∠BEN=∠A. 又∵∠BEN=∠DEM,∴∠DEM=∠A. 在△DME与△BCA中, ∵∠DEM=∠A,∠DME=∠C, ∴△DME∽△BCA. 10.证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠B=∠C=90°, ∴∠BEF+∠BFE=90°. ∵∠EFG=90°, ∴∠BFE+∠CFG=90°, ∴∠BEF=∠CFG, ∴△EBF∽△FCG. 11.B 12.B [解析] 因为△ABC和△ADE均为等边三角形,所以∠B=∠ADF=60°,所以∠BAD+∠ADB=∠FDC+∠ADB=120°,所以∠BAD=∠FDC.又因为∠B=∠C=60°,所以△BAD∽△CDF,所以AB∶CD=BD∶CF,所以9∶6=3∶CF,所以CF=2. 13.B [解析] ∵ME⊥AD,NF⊥AB,∴∠AFN=∠AEM=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FAN=∠EAM,∴△FAN∽△EAM,∴=,即=,解得AN=4. 14. [解析] ∵∠A=∠BCD,∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴=,即=,∴BD=.故答案为. 15.在△ABC中,∠A=35°,∠C=85°,∴∠B=60°. 又∵∠AED=60°,∴∠B=∠AED. 又∵∠A为公共角,∴△AED∽△ABC, ∴=,∴AD·AB=AE·AC. 16. (1)证明:∵∠C=90°,由折叠的性质得∠AED=∠C=90°, ∴∠DEB=∠C=90°. 又∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BAC. (2)由勾股定理,得AB=10. 由折叠的性质,知AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°, ∴BE=AB-AE=10-6=4. 在Rt△BDE中,由勾股定理,得 DE2+BE2=BD2,即CD2+42=(8-CD)2, 解得CD=3. 在Rt△ACD中, 由勾股定理,得AC2+CD2=AD2,