【八年级下册数学北师大版】1.4 角平分线

1.4《角平分线》 一、选择题 1.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是( ) A.PQ＞5 B.PQ≥5 C.PQ＜5 D.PQ≤5 2.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是( ) A.PC＝PD B.∠CPD＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝OD 3.如图，用直尺和圆规作∠AOB的角平分线，能得出射线OC就是∠AOB的角平分线的根据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 4.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( ) A.线段CD的中点 B.OA与OB的垂直平分线的交点 C.OA与CD的垂直平分线的交点 D.CD与∠AOB的平分线的交点 5.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在( ) A.AC，BC两边高线的交点处 B.AC，BC两边中线的交点处 C.AC，BC两边垂直平分线的交点处 D.∠A，∠B两内角平分线的交点处 6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于( ) A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5 7.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5 8.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝70°，则∠BPC的度数为( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 二、填空题 9.如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA＝2，则PQ的最小值为 ，理论根据为 . 10.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB＝16cm，AC＝14cm，则DE＝ . 11.如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，DE⊥AC于E，AC＝4，S△ADC＝6，则点D到AB的距离是________. 12.如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝8cm，BC＝6cm，S△ABC＝14cm2，则DE的长是 cm. 13.三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线 一点，且该点在三角形 部. 14.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF， 则下列结论： ①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AB＋AC＝2AE中正确的是 . 三、作图题 15.如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等。请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹). 四、解答题 16.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF. 求证：(1)△BED≌△CFD； (2)AD平分∠BAC. 17.已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC. 求证：AB＝AC. 18.如图，AC平分∠BCD，AB＝AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. (1)若∠ABE＝60°，求∠CDA的度数. (2)若AE＝2，BE＝1，CD＝4.求四边形AECD的面积. 19.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F. (1)求证：∠EFA＝90°﹣∠B； (2)若∠B＝60°，求证：EF＝DF. 20.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)求证：AB＋AD＝2AE. 参考答案 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 7.D 8.C 9.答案为：2，角平分线上的点到角两边的距离相等. 10.答案为：3. 11.答案为：3. 12.答案为：2. 13.答案为：相交于，外. 14.答案为：①②④. 15.解：如图所示： 16.证明；(1)∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， 在Rt△BED和Rt△CFD中，， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)， (2)∵Rt△BED≌Rt△CFD， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， 又∵D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC 17.证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，， ∴Rt△BOF≌Rt△COE， ∴∠FBO＝∠ECO， ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝∠BCO， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC. 18.解：(1)∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD， ∴AE＝AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE＝AF，AB＝AD. ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴∠CDA＝180°﹣∠ADF＝120°； (2)由(1)知：Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴FD＝BE＝1，AF＝AE＝2，CE＝CF＝CD＋FD＝5， ∴BC＝CE＋BE＝6， ∴四边形AECD的面积＝△ABC的面积＋△ACD的面积＝10. 19.证明：(1)∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B， 又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA， ∴∠FAC＋∠FCA＝×(180°﹣∠B)＝90°﹣∠B， ∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA， ∴∠EFA＝90°﹣∠B. (2)如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M. ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴FG＝FH＝FM， ∵∠EFH＋∠DFH＝120°， ∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°， ∴∠EFH＝∠DFG， 在△EFH和△DFG中，