李锦旭数列型不等式放缩技巧九法

精品文档---下载后可任意编辑 山东省临沭县实验中学 李锦旭（276700） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深化剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设求证 解析 此数列的通项为 ，， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：（02年全国联赛山东预赛题） 简析 例3 求证. 简析 不等式左边 =，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1利用假分数的一个性质可得 即 法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得 注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明(可考虑用贝努利不等式的特例) 例5 已知函数 求证：对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法： 而由不等式得 (时取等号) （），得证！ 例6已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题） 解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路： 。于是， 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探究放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ， 即 例7已知不等式表示不超过的最大整数。设正数数列满足： 求证（05年湖北卷第（22）题） 简析当时，即 于是当时有 注：①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培育学生的学习能力与创新意识。 例8设，求证：数列单调递增且 解析 引入一个结论：若则（证略） 整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。 以代入（）式得 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：①上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩： 故有 ②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景：已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常美丽的解决！详见文[1]。 二 部分放缩 例9 设求证： 解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），， 于是 例10设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。 三 添减项放缩 上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 例11 设，求证. 简析 观察的结构，注意到，展开得 ， 即，得证. 例12设数列满足 （Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）； 法2 则 四 利用单调性放缩 1． 构造数列 如对上述例1，令则， 递减，有，故 再如例4，令则，即递增，有，得证！ 注：由此可得例4的加强命题并可改造成为探究性问题：求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探究性结论，读者不妨一试！ 2．构造函数 例13 已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明（04年辽宁卷第21题） 解析 （Ⅰ）=1 ；（Ⅱ）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得 例14 数列由下列条件确定：，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有（02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增，故 对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。 注：①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列单调递减有下界因而有极限： ②是递推数列的母函数，讨论其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。类题有06年湖南卷理科第19题： 已知函数,数列{}满足: 证明:(ⅰ);(ⅱ).（证略） 五 换元放缩 例15求证 简析 令，这里则有 ，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例16 设，，求证. 简析 令，则，，应用二项式定理进行部分放缩有 ，注意到，则（证明从略），因此 六 递推放缩 递推放缩的典型例子，可参考上述例10中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例6中所得和、例7中、 例12（Ⅰ）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。 七 转化为加强命题放缩 如上述例10第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探究、或运用逆向思维探究转化为证明其加强命题：再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。 例17 设，定义，求证：对一切正整数有 解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式 是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑： 故将原问题转化为证明其加强命题： 对一切正整数有（证明从略） 例18 数列满足证明（01年中国西部数学奥林匹克试题） 简析 将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步： 因此对一切有 例19已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1·a2·……an<2·n！（06年江西卷理科第22题） 解析：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）……1° （2）证：据1°得，a1·a2·…an＝，为证a1·a2·……an<2·n！