李锦旭数列型不等式放缩技巧九法

精品文档---下载后可任意编辑 山东省临沭县实验中学 李锦旭（276700） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构，深化剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设求证 解析 此数列的通项为 ，， 即 注①应注意把握放缩的“度”上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证（02年全国联赛山东预赛题） 简析 例3 求证. 简析 不等式左边 ，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有 法1利用假分数的一个性质可得 即 法2利用贝努利不等式的一个特例此处得 注例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是 证明可考虑用贝努利不等式的特例 例5 已知函数 求证对任意且恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法 而由不等式得 时取等号 （），得证 例6已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）（05年辽宁卷第22题） 解析结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路 。于是， 即 注题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探究放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩 ， 即 例7已知不等式表示不超过的最大整数。设正数数列满足 求证（05年湖北卷第（22）题） 简析当时，即 于是当时有 注①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培育学生的学习能力与创新意识。 例8设，求证数列单调递增且 解析 引入一个结论若则（证略） 整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。 以代入（）式得 此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注①上述不等式可加强为简证如下 利用二项展开式进行部分放缩 只取前两项有对通项作如下放缩 故有 ②上述数列的极限存在，为无理数；同时是下述试题的背景已知是正整数，且（1）证明；（2）证明（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问用代替得数列是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法数列递减，且故即。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常美丽的解决详见文[1]。 二 部分放缩 例9 设求证 解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），， 于是 例10设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 解析 用数学归纳法当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩；证明就直接使用了部分放缩的结论。 三 添减项放缩 上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 例11 设，求证. 简析 观察的结构，注意到，展开得 ， 即，得证. 例12设数列满足 （Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）； 法2 则 四 利用单调性放缩 1． 构造数列 如对上述例1，令则， 递减，有，故 再如例4，令则，即递增，有，得证 注由此可得例4的加强命题并可改造成为探究性问题求对任意使恒成立的正整数的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探究性结论，读者不妨一试 2．构造函数 例13 已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明（04年辽宁卷第21题） 解析 （Ⅰ）1 ；（Ⅱ）由得且用数学归纳法（只看第二步）在是增函数，则得 例14 数列由下列条件确定，．（I）证明对总有；II证明对总有（02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数易知在是增函数。 当时在递增，故 对II有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。 注①本题有着深厚的科学背景是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有着高等数学背景数列单调递减有下界因而有极限 ②是递推数列的母函数，讨论其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。类题有06年湖南卷理科第19题 已知函数,数列{}满足 证明ⅰ;ⅱ.（证略） 五 换元放缩 例15求证 简析 令，这里则有 ，从而有 注通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例16 设，，求证. 简析 令，则，，应用二项式定理进行部分放缩有 ，注意到，则（证明从略），因此 六 递推放缩 递推放缩的典型例子，可参考上述例10中利用部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明，同理例6中所得和、例7中、 例12（Ⅰ）之法2所得都是进行递推放缩的关键式。 七 转化为加强命题放缩 如上述例10第问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探究、或运用逆向思维探究转化为证明其加强命题再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。 例17 设，定义，求证对一切正整数有 解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式 是难以证出的，因为出现在分母上可以逆向考虑 故将原问题转化为证明其加强命题 对一切正整数有（证明从略） 例18 数列满足证明（01年中国西部数学奥林匹克试题） 简析 将问题一般化先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步 因此对一切有 例19已知数列｛an｝满足a1＝，且an＝（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明对一切正整数n有a1a2an2n（06年江西卷理科第22题） 解析（1）将条件变为1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n1）1 （2）证据1得，a1a2an＝，为证a1a2an2n