同济第六版《高等数学》教案-第02章-导数与微分

高等数学教案 第二章 导数与微分 第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数: s=f(t), 求动点在时刻t0的速度. 考虑比值 , 这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0®0, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 , 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT, 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x, y), 于是割线MN的斜率为 , 其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x®x0. 如果当x® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: . 令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), x®x0相当于Dx ®0, 于是 成为 或. 定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量Dx(点x0+Dx仍在该邻域内)时, 相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0); 如果Dy与Dx之比当Dx®0时的极限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记为, 即 , 也可记为, 或. 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 , . 在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导. 如果不可导的原因是由于, 也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大. 如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导, 就称函数f(x)在开区间I内可导, 这时, 对于任一x ÎI, 都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y=f(x)的导函数, 记作 ,, , 或. 导函数的定义式: =. f ¢(x0)与f ¢(x)之间的关系: 函数f(x)在点x0处的导数f ¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x0处的函数值, 即 . 导函数f ¢(x)简称导数, 而f ¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ¢(x)在x0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f(x)在的左导数:; f(x)在的右导数:. 如果极限存在, 则称此极限值为函数在x0的左导数. 如果极限存在, 则称此极限值为函数在x0的右导数. 导数与左右导数的关系: Û. 2．求导数举例 例1．求函数f(x)=C（C为常数）的导数. 解: . 即 (C ) ¢=0. 例2. 求的导数. 解: . 例3. 求的导数. 解: . 例2．求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数. 解: f ¢(a)(x n-1+ax n-2+ × × × +a n-1)=na n-1. 把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1. (C)¢=0, , , . 更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m为常数. 例3．求函数f(x)=sin x 的导数. 解: f ¢(x) . 即 (sin x)¢=cos x . 用类似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x . 例4．求函数f(x)= a x(a>0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x) . 特别地有(e x )=e x . 例5．求函数f(x)=log a x (a>0, a ¹1) 的导数. 解: . 解: