专题01 单调性的几个等价命题-妙解高考数学填选压轴题

专题01 单调性的几个等价命题 【方法点拨】 1. 函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有； 2. 对任意，当时,都有函数f(x)－kx为上的增函数 说明：含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或𝑞,𝑟等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）. 【典型题示例】 例1 （2022·江苏南通海安12月考·8）已知f(x)＝x2＋2ax－1，对任意x1、x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，恒有x2f(x1)－x1f(x2)＜a(x1－x2)成立，则实数a的取值范围是（ ） A. (－∞，2]B. (－∞，3]C. (－∞，72]D. (0，72] 【答案】A 【分析】由已知条件可得函数g(x)=f(x)x+ax在[1,+∞)上单调递增，所以g (x)=1+1x2−ax2=x2+1−ax2≥0在[1,+∞)上恒成立，从而可得a≤x2+1在[1,+∞)上恒成立，进而可求得答案 【解析】由x2f(x1)−x1f(x2)m≥0， 故f(x)在(m，＋∞)上单调递减， 又由f′(x)＝，令f′(x)1， 故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故m≥1. 4. 【答案】B 【解析】因为，不妨设，则可化为，即 设 则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立 所以在R上单增 故在R上恒成立 所以，故 所以实数的取值范围是， 选B． 5. 【答案】B 【解析】令，则，成立， 则为单调增函数， 若对任意的恒成立，则， 即，即都有， 令，则， ∴，∴，故选B 6