专题01 单调性的几个等价命题-妙解高考数学填选压轴题

专题01 单调性的几个等价命题 【方法点拨】 1. 函数fx为定义域在上的增函数对任意，当时,都有； 2. 对任意，当时,都有函数fx－kx为上的增函数 说明含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或𝑞,𝑟等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）. 【典型题示例】 例1 （2022江苏南通海安12月考8）已知fx＝x2＋2ax－1，对任意x1、x2∈[1，＋∞且x1＜x2，恒有x2fx1－x1fx2＜ax1－x2成立，则实数a的取值范围是（ ） A. －∞，2]B. －∞，3]C. －∞，72]D. 0，72] 【答案】A 【分析】由已知条件可得函数gxfxxax在[1,∞上单调递增，所以gx11x2−ax2x21−ax2≥0在[1,∞上恒成立，从而可得a≤x21在[1,∞上恒成立，进而可求得答案 【解析】由x2fx1−x1fx2ax1−x2，x1,x2∈[1,∞，得x2fx1−x1fx2x1x2ax1−x2x1x2， 所以fx1x1ax1fx2x2ax2， 因为x1,x2∈[1,∞且x1x2， 所以函数gxfxxax在[1,∞上单调递增，即gxx2a−1xax在[1,∞上单调递增， 所以gx11x2−ax2x21−ax2≥0在[1,∞上恒成立， 所以x21−a≥0在[1,∞上恒成立，即a≤x21在[1,∞上恒成立， 所以a≤2， 所以实数a的取值范围是−∞,2]， 故选A 例2 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据结合，可得出，可知函数在上为增函数，可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【解析】由以及，， 所以，， 构造函数，则， 所以，函数在上为增函数， 由于，则对任意的恒成立， 由，可得， 当时，则，当且仅当时，等号成立， 所以，，因此实数的取值范围是. 故选B. 例3 已知函数fx的定义域为R，图象恒过0,1点，对任意，当时,都有，则不等式的解集为 A.In2, ∞B.-∞,ln2C.In 2,1D.0, ln 2 【答案】D 【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将化为 令， 故在R上单增，且 可化为 即，所以，，解之得 所以不等式的解集为0, ln 2. 点评 1. fx在单增（减）对任意，当时，都有 ； 2. 结构联想，当题目中出现，应移项通分转化为，即Fxfx－ax在单增. 例4 已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性. 【解析】不等式可变形为， 即，当，且恒成立， 所以函数在上单调递减. 令 则在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 因为当时，， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围为. 例5 已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为 A.B.C.D. 【答案】D 【解析】构造函数，则因为是定义在上的奇函数，故为定义域是 的偶函数 又对任意两个不相等的正数都有，即，故在上为减函数. 综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减. 又，，，且 所以，即,故答案为D. 【巩固训练】 1. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A．B．C．D． 3.若对∀x1，x2∈m，＋∞，且x1x2，都有1，则m的最小值是 注e为自然对数的底数，即e＝2.718 28 A. B．e C．1 D. 4.已知函数，对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 5.已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.设函数是定义在上的奇函数，，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为______. 7.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是 ． 8.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ） A．7B．8C．9D．11 【答案与提示】 1. 【答案】B 【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故选B. 2. 【答案】A 【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果. 【解析】由且得 令，可知在上单调递增 在上恒成立，即 令，则 时，，单调递减；时，，单调递增 ，解得 本题正确选项 点评 本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 3.【答案】 C 【解析】 由题意，当0≤mx1x2时， 由1，等价于x1ln x2－x2ln x1x2－x1，即x1ln x2＋x1x2ln x1＋x2， 故x1ln x2＋1x2ln x1＋1，故， 令fx＝，则fx2fx1， 又∵x2x1m≥0， 故fx在m，＋∞上单调递减， 又由f′x＝，令f′x0，解得x1， 故fx在1，＋∞上单调递减，故m≥1. 4. 【答案】B 【解析】因为，不妨设，则可化为，即 设 则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立 所以在R上单增 故在R上恒成立 所以，故 所以实数的取值范围是， 选B． 5. 【答案】B 【解析】令，则，成立， 则为单调增函数， 若对任意的恒成立，则， 即，即都有， 令，则， ∴，∴，故选B 6