专题06 数列小题（理科）（解析版）-（2014-2023）高考数学真题分项汇编

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—数列小题 目录 题型一：数列的概念与通项公式1 题型二：等差数列8 题型三：等比数列12 题型四：等差与等比数列综合17 题型五：数列的求和19 题型六：数列与数学文化22 题型七：数列的综合应用26 题型一：数列的概念与通项公式 一、选择题 1．(2016高考数学浙江理科·第6题)如图，点列分别在某锐角的两边上，且，(表示点与不重合)．若，为的面积，则( ) ( ) A．是等差数列B．是等差数列 C．是等差数列D．是等差数列 【答案】A 【命题意图】本题考查等差数列的概念、平行线的性质等基础知识，意在考查学生分析问题和解决问题的能力． 解析：不妨设，过点，分别作直线的垂线，高线分别记为，根据平行线的性质，所以成等差数列，又，所以是等差数列．故选A． 2．(2019·浙江·第10题)已知，，数列满足，，，则( ) A．当时，B．当时， C．当时，D．当时， 【答案】A 【解析】解法一：对于B，由，得．取，则，所以，不合题意； 对于C，由，得或．取，则，所以，不合题意； 对于D，由，得．取，则，所以，不合题意． 对于A，，，，，递增，当时，，，迭乘法得，，A正确．故选A． 解法二:借助图形 其中选项中均含有不动点，由于的不确定性，故都不能说明．故选A． 3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第12题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力． 不妨设(其中) 则有,因为,所以 由等比数列的前项和公式可得 因为,所以 所以即,因为 所以,故 所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意 当时,,故满足题意的的最小值为． 解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出． 解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的单独为一组,则,从而数列的前项的和为: 所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即 又,所以,所以,所以,所以 当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合题意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性 当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A． 事实上验证:或或或或或 只有成立． 点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建的不等式限定的可能值,进而求出最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作． 解法三:检验法 由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验 选项D:若,由,知第项排在第14行,第19个 由是奇数知不能写成整数幂; 选项C:若,由知,第项排在第21行,第10个 是大于1的奇数,不能写成整数幂; 选项B,若,由知第项排在第26行,第个 ,同理,不能写成整数幂; 选项A时,当时,由,可解出 所以这前和为:,符合题意,故选A． 解法四:直接法 由能写成的整数幂可知,,,且由知,故满足条件的的最小值为,得,此时． 解法五:二进制转化法 按照上面形式重新排列后,第层:,的和为 把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐) 第1层: 1 第2层: 11 第3层: 111 第层: 1111 由于的数幂的二进制数为:,前层的和再加多少可以写成的整数幂? 为方便相加,首先,每层都加,则总共加了,得: 第1层: 10 第2层: 100 第3层: 1000 第层: 1000 此时层总的和为:,仍然不是的整数幂,再加上即可! 所以在前层总和的基础上,再加上可使和成为的整数幂 设第层的前个数的和为,即 后面的方法同“解法四”． 【考点】等差数列、等比数列的求和． 【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和．另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断． 4．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有( ) A．18个B．16个C．14个D．12个 【答案】C 【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C. 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 5．(2021年高考浙江卷·第10题)已知数列满足．记数列的前n项和为，则( ) A．B．C．D． 【答案】A 解析:因为，所以，． 由 ，即 根据累加法可得，，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，即． 故选A． 二、填空题 1．(2022高考北京卷·第15题) 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 解析:由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对． 故答案为：①③④． 2．(2015高考数学新课标2理科·第16题) 设是数列的前项和，且，，则________． 【答案】 解析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以． 考点：等差数列和递推关系． 3．(2017年高考数学上海（文理科）·第14题) 已知数列和,其中,,的项是互不相等的正整数,若对于任意,的第项等于的第项,则_____