积分和简单的微分方程

第三讲第三讲积分和简单的微分方程积分和简单的微分方程 上讲回顾上讲回顾 1 对于保守力有F   dEp dx ，势能极值点就是受力平衡点 2 小量展开能将复杂的表达式简化，用多项式逼近任意函数。重要的公式： 当x 1时(1 x)n1nx n(n1) 2x . 2 1 x 3 常见的求导公式 [xn]  nxn1；[ex]  ex；[sinx]  cosx；[cosx] sin x；[lnx]  本讲目标本讲目标 积分是变量累计的基本方法。掌握积分之后一方面可以用更为简明的办法处理部分竞赛题，另一 方面为同学们自学各种高级课程扫平了障碍。 物理方程常常同时包括某个物理量和这个物理量的导数，这样的方程就叫微分方程。掌握微分方 程之后，对于许多问题便可以跳出具体的已知量、未知量的限制，从物理本质的角度，讨论问题的可 解性，归纳多题一解的方法。 知识模块知识模块 第一部分单元函数积分 知识点睛 引入：物理公式分类 物理公式分成：状态方程（初中常见，例如牛二，万有引力）和过程方程（例如动能定理，动量 定理） 。判定以下方程是状态方程还是过程方程：m V；F  ma；x  vt 看下面两组方程I  U ；U  IR R q ；q  It t 前一组是状态的方程。后一组是过程的方程。当电流是常数的时候，两个式子都是对的。然后电 流是变化的时候，前一组方程还成立，后一组得到的就不是电流了，而是电流的平均值。如果还要求 结果是瞬时的电流，必须把第二组第一个变成求导数，后一个方程就把乘积变成了对瞬时的电流*时 间再求和，也就是我们今天要学的积分。 先看两个例子： I  高一·物理·竞赛班·第3 讲·教师版讲述高端的真正的物理学讲述高端的真正的物理学1 一 变速直线运动的路程。 我们都熟悉匀速直线运动的路程公式。 如果物体的速率是v，则它t a 到t 0 -段时间间隔内走过的路 程是s  vt b t a  对于变速直线运动来说，物体的速率v是时间的函数：v  vt，函数的图形是一条曲线（见图a） ， 只有在匀速直线运动的特殊情况下， 它才是一条直线（参见图b） 。对于变速直线运动，s  vt b t a  式已不适用。但是，我们可以把t  t a 到t  t b 这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每 小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的。这样一来，物体在每小段时间里走过的路程都可以按 照匀速直线运动的公式来计算，然后把各小段时间里走过的路程都加起来，就得到t a 到t b 这段时间里 走过的总路程。 设时间间隔t b t a 被t  t 1  t a 、t 2 、t 3 、…、t n 、t b 分割成n小段，每小段时间间隔都是t， 则在t 1 、t 2 、t 3 、…、t n 各时刻速率分别是vt 1 、vt 2 、vt 3 、…、vt n 。如果我们把各小段时间 的速率钞看成是不变的，则按照匀速直线运动的公式，物体在这些小段时间走过的路程分别等于 vt 1 t、vt 2 t、vt 3 t、…、vt n t。于是，在整个t b t a 这段时间里的总路程是 s  vt 1 t  vt 2 t  vt 3 t  vt n t vt i t i1 n 现在我们来看看上式的几何意义。在函数v  vt的图形中，通过t  t 1 、t 2 、t 3 、t n 各点垂线的高度分 别是vt 1 、vt 2 、vt 3 、…、vt n （见图b） ，所以vt 1 t、vt 2 t、vt 3 t、vt n t就分别 是图中那些狭长矩形的面积，而vt i t则是所有这些矩形面积的总和，即图中画了斜线的阶梯状 i1 n 图形的面积。 二 变力做功 当力与物体移动的方向一致时，在物体由位置s  s a 移到s  s b 的过中，恒力F对它所作的功为 A  Fs b  s a 。 如果力F是随位置变化的，即F是s的函数：F  Fs，则不能运用式来计算力F的功了。这时，我 们也需要像计算变速运动的路程那样，把s b  s a 这段距离分割成n个长度为s的小段（见图） ，并 把各小段内力F的数值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式计算出每小段路程s上的功，然后加 起来取n  、s 0的极限值。具体地说，设力F在各小段路程内的数值分别为Fs 1 、Fs 2 、 Fs 3 、 …、Fs n 。 则在各小段路程上力F 所作的功分别为Fs 1 s、Fs 2 s、Fs 3 s、Fs n s 。 在s b  s a 整段路程上力F 的总功A就近似地等于Fs i s，因为实际上在每小段路程上力F 都是 i1 n 高一·物理·竞赛班·第3 讲·教师版讲述高端的真正的物理学讲述高端的真正的物理学2 变化的，所以严格地计算，还应取n  、s 0的极限值，即A  limFs i s。 s0 n i1 n 同上例，这极限值应是s b  s a 区间内Fs下面的面积（见图） 。 我们把计算函数与横轴圈出的面积的极限定义为定积分:  sb sa F(s)ds  limFs i s s0 n i1 n 我们把算面积的起点和终点S a ,S b 叫做积分的下限和上限。 每次都通过极限计算定积分是不现实的。如果一个函数满足 导函数，F(x)叫 f (x)的原函数。我们不加证明的给出： dF(x)  f (x)，叫f (x)是F(x)的 dx  b a f (x) F(b) F(a)。这就是著名的牛顿 -莱布尼兹公式。我们只做简单的说明：当积分上限增加x的时候，面积增加 f (x)x，可见积分结 果随着积分上限的变化率为 f (x)。我们定义下限大于上限的丁积分为圈出的面积的负值，这样定义 就能保持牛顿-莱布尼兹公式依旧成立。 从导函数求原函数的过程叫做不定积分。由于常数求导数等于 0，一个导函数对应着不只一个原 函数，相差一个常数，经常记做C。定积分是针对一个函数取上下限计算面积，结果是一个数。不定 积分是求导数的逆运算，结果是一群相差常数的函数。二者通过牛顿-莱布尼兹公式联系起来。通常是 通过计算不定积分，代入公式求得定积分。通过基本求导公式可以计算基本不定积分。 【例1】 求以下不定积分 1 n2xadxx dx;(n  1)(3x 1)dx;(n  1)sin xdx ;；；；  x dx；e dx； [解析] 略 积分实际上就是猜原函数的过程。四则元算有章可循，求导数有法可依，积分过程基本靠猜。某 些大神们积分基本不动笔，目测答案…当然猜也有猜的方向。利用换元法可以处理更多的积分。换元 高一·物理·竞赛班·第3 讲·教师版讲述高端的真正的物理学讲述高端的真正的物理学3 的基本想法就是把被积的函数变成基本积分。