利用复数的几何意义巧解复数题
利用复数的几何意义巧解复数题 林奕生 南平市高级中学(353000) npgjzx@ ] 复数与几何关系密切,复数的各种几何意义是沟通数与形的一座桥梁。对于复数问 题,在探索解题思路时,注意复数的图形特征,适当运用数形结合的思想方法,充分发 挥形象思维的优势,以数思形,数形渗透,两者交融,常使问题变得简单明了,直观形 象,得以巧解。 利用形数思想巧解复数题的关键是,对涉及复数的模、辐角的主值、复数的各种运 算,或者涉及复数对应的点、向量各种变换的问题,选取适当的切入点,对它们作相应 的几何解释,以此为线索探求思路,以求妙解。在下列各例中,我们正是找到了关键, 结合图形,巧妙分析,其解法治有一定的典型性、新颖性。 例1、设 G=l —z , IzJ = 2 ,且argq 日令,;] 求:的最大值和最小值。 解:。G = 1-z ,「.=-2/ 0 |z2| = 1“.可设Z2 = 2(cos0 + isin61), 0 右屿号】 Zj = 4(cos 10 + isin20) 23 e [^,^] argz; e [:,勿],柘| = 4 如图1,由上式可知点Z;是以原点为圆心,4为半径的圆劣弧CD上的动点,而 -2』,即是动点到定点A (0, 2)的距离。于是当点处于点B (0, 4)时,|z《+z;Lin =|人3|=2,当点 处于 C (0,-4)时,|z《+z;Lax =|“ = 2必 例2、已知复数z满足arg(z + 3)=—,求|z + 6| + |z-3z|的最小值。 解:arg(z + 3)=—表不以-3为端点,且与X轴正方向的倾角为一的一条射线, 44 那么求|z + 6| + |z-3z[的最小值就是求这条射线上的点-6与3z两点之和的最小值。 山于-6与3z•两点的连线与射线有交点(如图),所以-6与3z•两点间的距离即为所 求。易得-6与3z•间的距离是3打,所以 |z + 6| + |z-3i|的最小值是3陌 例3、复数z满足|z-2 + 2i| = V2 ,求忸与argz的取范围。 解:如图,|z-2 + 2i| = V2表示以C(2,-i)为圆心,J万为半径的圆,从图中可 直观地得到 |z| . =|OA| = V5-V2 ; Izl =|<9B| = V5+V2 I I min I II I max I I .•.|z|的取值范围是[必-扼,必+扼]过O点作。C的两条切线,切点分 别为 M、N,则 ZCOM = ZCON = arctg^ , ZCOD = arctg | ZDOM = arctg 1 -arctg — ADON = arctg 21 J + arctg - 从图中可直观得 出 arg z 的取值范 [0, arctg 121 j+arctg-),2tt) 121 —-arctg —] Y [2〃 - {arctg rr 例4、复数z在复平面内对应的点为z,将点Z绕原点按逆时针方向旋转#,再 3 向左平移1个单位,向下平移1个单位,得到点Z],此时点Z]与Z恰好关于原点对称, 求复数Z。 解:依题意,变换后的复数(如下图)Z! = z(cos| + isin|) + (-1) + (-0 = -z / 兀〃、1 ./I V3 . /. z(cos — +1 sin —) = 1 + z - zz(~ h— z) = 1 + z - z 例5、已知复数z满足(z+l)(z + l) = |z「,且二为纯虚数,求复数Z。 解:。乏+ l = z+l, (z +l)(z +1) = |z|2 |z + 1|2 = |z|2 •■- |z + 1| = |z| 7 — 1 .••点Z在A (-1, 0)与O (0, 0)的连线的垂直平分线上,又 一是纯虚数,所 Z +1 以复数1-1与Z + 1表示的向量CB与AB互相垂直,所以点Z在单位圆O上,且 1 V3 ZAOB = 60° ,由图易知z = ——±—z 2 2 例6、设复数a、”对应于复平面上的点A、B,且a? —2必+ 4”2 =0, |« - V3 + il = 1,。为原点,求 (2)+ w2 + zz/ = 0 解(1): 0 |z| = |w| = |z + w| = 1, 点 z、 u、z+u 都在单位圆上, 设 z + 〃 = cos / + z sin / 根据复数加法的几何意义知:a-y = y- P 2ta y 24 tg(a + 0) = tgly =—=— 1-妒/7 (2) z2 +u2 + zu = (z + “)2 -zu =(cos / + i sin 9) 2 — [cos(a + /?) +,sin(a + /?)] ==cos 2/ + i sin 2/ — (cos 2/ + i sin 2/) = 0 200208