利用复数的几何意义巧解复数题

利用复数的几何意义巧解复数题 林奕生 南平市高级中学353000 npgjzx ] 复数与几何关系密切，复数的各种几何意义是沟通数与形的一座桥梁。对于复数问 题，在探索解题思路时，注意复数的图形特征，适当运用数形结合的思想方法，充分发 挥形象思维的优势，以数思形，数形渗透，两者交融，常使问题变得简单明了，直观形 象，得以巧解。 利用形数思想巧解复数题的关键是，对涉及复数的模、辐角的主值、复数的各种运 算，或者涉及复数对应的点、向量各种变换的问题，选取适当的切入点，对它们作相应 的几何解释，以此为线索探求思路，以求妙解。在下列各例中，我们正是找到了关键， 结合图形，巧妙分析，其解法治有一定的典型性、新颖性。 例1、设 Gl z, IzJ 2 ,且argq 日令，；] 求的最大值和最小值。 解。G 1-z,「.-2/ 0 |z2| 1.可设Z2 2cos0 isin61, 0 右屿号】 Zj 4cos 10 isin20 23 e [，] argz； e [,勿],柘| 4 如图1,由上式可知点Z；是以原点为圆心，4为半径的圆劣弧CD上的动点，而 -2』，即是动点到定点A 0, 2的距离。于是当点处于点B 0, 4时，|zz；Lin |人3|2，当点 处于 C 0,-4时，|zz；Lax | 2必 例2、已知复数z满足argz 3,求|z 6| |z-3z|的最小值。 解argz 3表不以-3为端点，且与X轴正方向的倾角为一的一条射线, 44 那么求|z 6| |z-3z［的最小值就是求这条射线上的点-6与3z两点之和的最小值。 山于-6与3z两点的连线与射线有交点如图，所以-6与3z两点间的距离即为所 求。易得-6与3z间的距离是3打，所以 |z 6| |z-3i|的最小值是3陌 例3、复数z满足|z-2 2i| V2 ,求忸与argz的取范围。 解如图，|z-2 2i| V2表示以C2,-i为圆心，J万为半径的圆，从图中可 直观地得到 |z| . |OA| V5-V2 ； Izl |9B| V5V2 I I min I II I max I I ..|z|的取值范围是［必-扼，必扼］过O点作。C的两条切线，切点分 别为 M、N,则 ZCOM ZCON arctg , ZCOD arctg | ZDOM arctg 1 -arctg ADON arctg 21 J arctg - 从图中可直观得 出 arg z 的取值范 [0, arctg 121 jarctg-,2tt 121 -arctg ] Y [2〃 - {arctg rr 例4、复数z在复平面内对应的点为z,将点Z绕原点按逆时针方向旋转,再 3 向左平移1个单位，向下平移1个单位，得到点Z],此时点Z]与Z恰好关于原点对称, 求复数Z。 解依题意，变换后的复数如下图Z zcos| isin| -1 -0 -z / 兀..〃、1 ./I V3 . /. zcos 1 sin 1 z - zz h z 1 z - z 例5、已知复数z满足zlz l |z「，且二为纯虚数，求复数Z。 解。乏 l zl, z lz 1 |z|2 |z 1|2 |z|2 ■- |z 1| |z| 7 1 .点Z在A -1, 0与O 0, 0的连线的垂直平分线上，又 一是纯虚数，所 Z 1 以复数1-1与Z 1表示的向量CB与AB互相垂直，所以点Z在单位圆O上，且 1 V3 ZAOB 60 ,由图易知z z 2 2 例6、设复数a、”对应于复平面上的点A、B,且a 2必 4”2 0, | - V3 il 1,。为原点，求9A3的最大面积。 解依题意知必N0,原方程可变为 言尸芸 4 0,解得 1 V3z 2[cos p3 7T zsin-］此式的几何意义是 |OA| 2|95|,且 403 60。，于是 90。由 | - V3 il 1 知点 A 在 OC上移动，故要求9A3的最大面积，只要求的最大值，W|OA|max 3 |C|, 11 Q Q /Q AOAB的最大面积为 OB AB 「x 例 7、已知 |zj 3, |方| 5，|zj z2| ,求 u 的值。 一 一 解i由题意可得|1| 幺三7,又故知复数u对应的 11 电 51 1 z2 5 一37 点是以原点为圆心、半径长为一的圆和以A -1, 0为圆心、半径长为一的圆的交点, 55 设 u x yi,则 w 1 x 1 yz 解 2如下图，|ozj ki| 3, |OZ2||z2| 5，|OZ||gz2| 7,故只需求 出 zZjOz,, iszZjOz, e, zoz2z , aoz2z由余弦定理得 32 52 721 cosa 。 120, ...。 60 2x3x52 例 8、已知复数 z coso isina , u - cos 3ism 3,且 z u z o CD 求 tga g值; 2 w2 zz/ 0 解1 0 |z| |w| |z w| 1, 点 z、 u、zu 都在单位圆上, 设 z 〃 cos / z sin / 根据复数加法的几何意义知a-y y- P 2ta y 24 tga 0 tgly 1-妒/7 2 z2 u2 zu z “2 -zu cos / i sin 9 2 [cosa / ，sina /] cos 2/ i sin 2/ cos 2/ i sin 2/ 0 200208