线代期末综合练习(C卷)
州性代教期末综合练习(C卷) 、填空题(每题3分,共30分) 1. 已矢[IA = ]] 2],8 = ]2], 且 A = 8, 贝 *11=, y=. 1 2.计算行列式“ 1 1 1 bed b2 c2 d2 =, b3 c3 d3 n 0 1) 3. 若a= 2 2 3,且A8 = 0,8^°,则,=• J 3 t, 4. 设§为齐次线性方程组弘=0的解,为非齐次线性方程组仙劫的解,则甘+〃* 为 的解. 12 3 4 1、几1012. 5. 攻 D=八,求 Al + A]2 + A]3 + A]4 =. U U —1 u 12 0-1 6. 已知“阶矩阵A满足£_a_2E = 0,则(A —/)T. 7. 设三阶方阵A = («,/1,/2),B = (/?,2/1,-3/2),其中a,A/i-r2均是三维列向量且 |A| = -|,网=3,贝ij|A + B|=. 8. 设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则|2明=. 9. 已知向量a = (—4,a—1,1) ,” = (a,2,—2) 正交,贝Ua=. 10. 〃阶矩阵A可对角化的充分必要条件是. 二、选择题(每题3分,共15分) 2xl - x2 + . = 0 1.若齐次线性方程组+奴2-想=0有非零解,则左必须满足(). k.X[ + x, + 毛=0 k = 4(B) k = -l (C)人=4或人=一1(D)上尹 4且上尹一1 2. 设A,B,X为同阶矩阵,旦可逆,则下列结论错误的是(). (A) 若AX=B,则 (C)若AX3 = C,则X = A CB1 (B) 若XA=B,则X=&4「 (D)若ABX = C,则X = A- B- C 3. 向量组%, a-.,---, as(s > 2)线性相关的充分必要条件是(). (A) %, a2, -,仁中至少有一个零向量 (B) %, %,…,四中任意一个向量可由其余向量线性表示 (C) %, %,…,%中至少有一个向量可由其余向量线性表示 (D) %, %,•••, «中任意一个部分组线性相关 4. 已知三阶矩阵A的特征值为-2,1,3, E为单位矩阵,则下列矩阵中非奇异矩阵是(). (A) 2E-A (B) 2E + A(C) E-A (。)A-3E 5. 设A为〃阶实对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是(). (A)二次型,/Ax的负惯性指数为零(B) A没有负特征值 (C) 存在乃阶矩阵C,使得A = CtC (D) A与单位矩阵合同 三、计算题(每题8分,共40分) 1%00 1.计算行列式r J:, °2° 0-1]一。2a3 00-1l-a3 “0 2.设 A = 1 J 3 3、 1 0 , AB = A + 2B ,求 B. 3, 3.问常数k取何值时,方程组-A- + x, + kx3 + 奴。+ M —X, + 2-% 4.求向量组的=(2,-1,— 1,1,2) ,a? =(1,1,一2,1,4)「,% = (2,-3,1,-1,2)气 «4 =(3,6,-9,7,9/ 4 炉无解,有唯一解,或有无穷多解, -4 并在有无穷多解时写出其全部解. 的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示. 5.求一个正交变换,将二次型f(xt,x2,x3) =+ 3.r; + 6x2x3 + 化为标准形. 四、综合题(每题5分,共15分) 1.设 A = (au)nx,,为实对称矩阵,R(A) = r <〃,且 A2 =2A.求 A 的迹“(A). 2. 判断向量组= «! +a2,河=«2 +%,A = % +^4,剧i = a4 +ai的线性相关性. 3. 设A是mxn实矩阵,证明:秩R(A) = R(A「A)