中考数学复习学案《复习解直角三角形及其应用》
课题:复习解直角三角形及其应用 教学目标 (1) 会将斜三角形转化为解直角三角形的基本图形,能利用解直角 三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题。 (2) 通过解决实际问题的过程体验,感受数学来源于生活,服务于生 活,感悟化归、方程等数学思想,增强学数学、用数学的意识与 能力。 教学重点、难点 重点:将斜三角形转化为解直角三角形的基本图形; 理解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念; 较为准确地将实际问题转化为数学问题. 难点:较为准确迅速地将实际问题数学化. 教材分析 本节课前,学生已学过直角三角形的相关知识,以及解直角三角 形的全章内容;本节课在熟悉锐角三角比的定义、解直角三角形、仰 角、俯角、方位角、坡度、坡角的基础上,学生综合运用所学的知识 和技能解决问题,通过将实际问题抽象为数学问题的过程体验来增强 数学应用意识,提升应用数学的能力。但是,如何将实际问题“数学 化”对于一部分同学来说是一个难点。 学情分析 学生已学过直角三角形的相关知识,以及解直角三角形的全章内 容;这对本节课复习奠定了知识基础,但是大部分学生在整理知识、 灵活运用知识来解决问题等方面存在较大的欠缺,因此,在教学过程 中需要更为精心的活动设计。 教学过程 1. 今天,我们一起复习《解直角三角形和它的应用》(教师板书课题), 首先,请同学们回忆一下,什么是解直角三角形? (学生思考,作答,有困难的,教师可以安排学生阅读课本,查找 定义,之后,教师板书:已知元素——未知元素) 2. 同学们再思考: (1)一个直角三角形除了直角以外,共有几个元素?这几个元 素分别是什么? (2)我们解直角三角形的依据是什么? (3)在解直角三角形时,除直角外,已知元素至少需要哪几个? a b c A C B (学生思考,作答,有困难的,教师可以安排学生阅读课本,查找 相应答案,或者小组内请教他人,之后,教师板书:解直角三角形的 依据和解直角三角形的分类) 2.出示问题(1),测试学生学习情况: 问题(1):如图,ZsABC 中,ZC=90° , a=8,b = 6,解这个直角三 角形(角度精确到1° ). (学生独立思考,作答,教师点评,总结是属于已知两边解直角 三角形的类型) A C B a=8 b=6 60° 3, 出示问题(2)、(3),进行变式训练 问题(2):把例1中条件ZC=90°改为匕C=60° , 能否求出第三边c的长呢 (结果用根号表示)? b=6 a =8 A B C (学生独立思考,然后可以小组交流,作答,教师点评,总结通 过作BC边上的高,将斜三角形转化为两个直角三角形,再借助解直 角三角形求解,作辅助线时,一般不要破坏特殊角,即宜将特殊角放 在直角三角形中,此题体现了转化的数学思想) 问题(3):把例1中条件ZC=90°改为匕C=120° , 能否求出第三边c的长呢 (结果用根号表示)? A (学生独立思考,然后可以小组交流,作答,教师点评,总结通 过作BC边上的高AD,不同的是这次高AD在三角形外,将斜三角 形转化为两个直角三角形,再借助解直角三角形求解,此题也体现了 转化的数学思想) 4. 出示一组变式训练题,旨在巩固,激发兴趣 (1) 已知:如图,AABC 中,ZC=90° , ZA=30° ,c = 8^BC. A B C (2) 已知:如图,A ABC 中,ZC=45° , ZA=30° ,c = 8^BC. B A (3) 已知:如图,AABC 中,NC=135° , ZA=30° , c = 8 BC. 学生独立思考,然后可以小组交流,作答,教师点评,总结 我们通过作辅助线一一某条边上边上的高,将斜三角形转化成直 角三角形,可以得到解直角三角形的两基本图形: A A B B C C D D 5. 解直角三角形的应用中,几个常用的角: (1) 俯角和仰角: 小杰在点C测得旗杆顶部A的仰角为60。, 小强在教室二楼点D处测得旗杆底部B 的俯角为45。,那么图中哪个角表示仰角? 哪个角表示俯角? 45° 30° 30° A D C B 南 北_ 西 东 E (2) 方位角: 图中哪个角表示南偏东30° ?射线AB表示的是什么方向?东北 方向表示什么意思?可用图中的什么射线表示? (3) 坡度、坡角: 100 如图,有一个山坡的坡度为1:2.5, 如果沿山坡在水平方向上每前进 100米,高度就升高—米. 坡角是(精确到1度). 6. 出示例题, B C D A 例1.在离某建筑物AB底部米处的点C处,已知测角仪的高 为1.5米,用测角仪测得该建筑物顶部A的仰角为30。,那么该建 筑物AB的高为 米(计算结果保留根号). A B C 30° 45° 36 例2.如图,AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房,在 楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45。,楼底D的俯 角为30° ,求楼CD的高?(结果保留根号) 例3.某船自西向东航行,在A点测得某岛B在北偏东60°的方 向上,前进8千米到达D测得某岛B在船北偏东45。的方向上,问: (1) 轮船自A向东行驶多少千米时离小岛距离最近? (2) 岛B的周围12千米范围内有暗礁,若船驶进这个范围就会 有触礁危险。请问,此船是否有触礁危险? 例4.如图,小山的顶部是一块平地,小山的斜坡(BD)的坡度 为,斜坡BD的长是50米,现在这块平地上安装一高压输电的铁 架,在山坡的坡底B处测得铁架顶端A处的仰角为45。,在山坡的 坡顶D处测得铁架顶端A处的仰角为60° ,求铁架AE的高度 7. 反馈练习 (1)某学生从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点 出发向南偏西15°方向走到C点,那么ZABC=度. (2) 在距地面100米高的平台上,测得地面上一塔顶与塔基的俯 角为30°和60° ,则塔高为_米。 (3) 海堤大坝的横断面是梯形,设坝顶BC宽6米,坝的高度23 米,斜坡AB的坡度i=,斜坡CD的坡角为45° ,求斜坡AB的长 和坝底宽AD的长。