中考数学复习指导:梯形问题的解题思路
梯形问题的解题思路 梯形问题的有关的解答,常要根据条件添加辅助线,把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形 问题解决,使一些分散的条件适当集中,再进行解答.常用的策略如下. 一、延长两腰 延长梯形的两腰,使它们交于一点,构造三角形,利用三角形的有关性质解题. A 典例 1 已知梯形 ABCD,AD〃BC,AB_LAC,BA=AD=DC. 求证:BC=2AD. 【解析】延长两腰交于点E,由ZBCA=ZCAD=/ACD,AB_LAC, A AC 是左BCE 的对称轴,.♦.BC = CEAE=AB. BA=AD=DC, .,.ZB=ZBCD, 由 AD〃BC“.ZEAD=/EDA, .I EA=ED=AB=CD 故 BC=CE=CD+DE=2AD. 【方法探究】本题证明线段的倍分关系,由等腰梯形上、下底平行条件及对角线垂直于腰的关系,联 想造轴对称图形,从而通过添加辅助线后,即延长两腰,使问题的获得解决. 二、平移对角线 平移对角线,一般是过小底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平 行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决. 典例2 如图,梯形ABCD中,AD/7BC, AC=BD,求证AB=CD. 【解析】 过D作对角线AC的平行线交BC的延长线于E.易证四边形ACED是平行四边形,从而 DE=AC.又AC=BD,由梯形的判定定理知梯形ABCD是等腰梯形,艮P AB=CD. 【方法探究】通过平移将两条对角线移到一个三角形,构造等腰三角形的两腰,从而使分散的条件在 聚集在一个三角形中,使问题易于解决. 三、作梯形的高 从梯形小底的两端向大底引垂线,可以得到一个矩形和两个直角三角形. 典例3如图,梯形ABCD中,AD〃:BC,/B与/C互余,AD=5,BC=13,ZB=45。,则该梯形面积是 (B)18 73 (D)36 拒 ( ) (A)18 72 (036 【解析】过A作AEXBC于E,由ZB=45。,ZB与ZC互余知AE=BE且AB=CD, AD=5,BC=13 1 AE=BE= — (BC-AD)=4, 2 梯形面积为上(AD+BC) xAE=36.故选C. 2 【品思感悟】本题通过作高构造等腰直角三角形,从而知高等于“两底差的一半”. 四、平移梯形的腰 平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形. 典例4 如图,在梯形ABCD中,AD/7BC, E、F分别是AD、BC的中点,若ZB+ZC=90°,AD=7. BC=15,求 EF. 【解析】由条件ZB+ZC=90°,我们通过平移AB、DC; 构造直角三角形MEN,使IF恰好是ZXMEN的中线. … 1 故有 EF=- MN=BC-2AD=1. 2 【归纳整理】本题将梯形的两腰平移到一个三角形中,构造直角三角形,根据直角三角形的性质,从 而使问题获得解决.而过一腰的端点作另一腰的平行线也是常用的辅助线. 五、过梯形一腰的中点作中心对称图形 取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得中心对称图形. 典例5 如图,梯形ABCD中,AB〃DC,CE、BE分别平分ZC和ZB,E为AD中点,求证:AB+DC=BC. 【解析】要证明AB+DC=BC,可以利用E为AD中点,延长CE与BA的延长线交于F,即得到ADEC 关于点E的中心对称AAEF,由中心对称图形的性质得CD=FA, CE=EF. 又. ZBCD+ZCBA=180°, ZDCE=ZECB, ZCBE^ZEBA, .ZCBE+ZBCE=90°, Z. ZCEB=90°, ABE是线段CF的垂直平分线. .\BC=BF=BA+AF, .LBC=AB+CD. 【技巧点拨】本题通过添加辅助线后,构成中心对称图形,沟通了 BC、BA与CD的联系,由线段垂 直平分线性质得出BC=BF,从而问题获得解决. FA B 六、将梯形补成平行四边形\ 卞T六 典例7如图10,梯形ABCD中,AB〃CD, M为腰BC的中点,\\ E D C 求证:SZ\AMD=1 S 梯形 ABCD. 2 【研析】 AAMD与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图的平行四边 形,它们之间的关系就清晰了. 延长BA,使AF=CD,延长CD,使DE=AB;则BF〃CE,BF=CE,则四边形BCEF是平行四边形.P j_j_ 为EF的中点,连结PM, PM与AD交于点N.连结AP、PD,则S AAPM= 2 S平行四边形BFPM= 4 S平 ]_ 行四边形BCEF= 2 S梯形ABCD. •MN〃AB,M 是 BC 中点, AN为AD中点且是PM中点. .I四边形AMDP是平行四边形, ASAAMD^SAAPN, ASAAMD^-S 梯形 ABCD. 2 【品思感悟】梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰. 通过解决以上问题可以看出,添加辅助线有助于把复杂的图形分解为简单的图形,把复杂的问题分解 为若干简单问题,把不规则图形转化为规则图形,有利于挖掘隐含条件,造成新的关系,使原题转化为容 易解决的问题.