中考数学复习指导：梯形问题的解题思路

梯形问题的解题思路 梯形问题的有关的解答，常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形 问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答.常用的策略如下. 一、延长两腰 延长梯形的两腰，使它们交于一点，构造三角形，利用三角形的有关性质解题. A 典例 1 已知梯形 ABCD,AD〃BC,AB_LAC,BAADDC. 求证BC2AD. 【解析】延长两腰交于点E,由ZBCAZCAD/ACD,AB_LAC, A AC 是左BCE 的对称轴，.♦.BC CEAEAB. BAADDC, .,.ZBZBCD, 由 AD〃BC.ZEAD/EDA, .I EAEDABCD 故 BCCECDDE2AD. 【方法探究】本题证明线段的倍分关系，由等腰梯形上、下底平行条件及对角线垂直于腰的关系，联 想造轴对称图形，从而通过添加辅助线后，即延长两腰，使问题的获得解决. 二、平移对角线 平移对角线，一般是过小底的一个端点作一条对角线的平行线，与另一底的延长线相交，得到一个平 行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决. 典例2 如图，梯形ABCD中，AD/7BC, ACBD,求证ABCD. 【解析】 过D作对角线AC的平行线交BC的延长线于E.易证四边形ACED是平行四边形，从而 DEAC.又ACBD,由梯形的判定定理知梯形ABCD是等腰梯形，艮P ABCD. 【方法探究】通过平移将两条对角线移到一个三角形，构造等腰三角形的两腰，从而使分散的条件在 聚集在一个三角形中，使问题易于解决. 三、作梯形的高 从梯形小底的两端向大底引垂线，可以得到一个矩形和两个直角三角形. 典例3如图，梯形ABCD中，AD〃BC,/B与/C互余，AD5,BC13,ZB45。,则该梯形面积是 B18 73 D36 拒 A18 72 036 【解析】过A作AEXBC于E,由ZB45。，ZB与ZC互余知AEBE且ABCD, AD5,BC13 1 AEBE BC-AD4, 2 梯形面积为上ADBC xAE36.故选C. 2 【品思感悟】本题通过作高构造等腰直角三角形，从而知高等于“两底差的一半”. 四、平移梯形的腰 平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行四边形. 典例4 如图，在梯形ABCD中，AD/7BC, E、F分别是AD、BC的中点，若ZBZC90,AD7. BC15,求 EF. 【解析】由条件ZBZC90,我们通过平移AB、DC； 构造直角三角形MEN,使IF恰好是ZXMEN的中线. 1 故有 EF- MNBC-2AD1. 2 【归纳整理】本题将梯形的两腰平移到一个三角形中，构造直角三角形，根据直角三角形的性质，从 而使问题获得解决.而过一腰的端点作另一腰的平行线也是常用的辅助线. 五、过梯形一腰的中点作中心对称图形 取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，可得中心对称图形. 典例5 如图，梯形ABCD中,AB〃DC,CE、BE分别平分ZC和ZB,E为AD中点,求证ABDCBC. 【解析】要证明ABDCBC,可以利用E为AD中点，延长CE与BA的延长线交于F,即得到ADEC 关于点E的中心对称AAEF,由中心对称图形的性质得CDFA, CEEF. 又... ZBCDZCBA180, ZDCEZECB, ZCBEZEBA, ...ZCBEZBCE90, Z. ZCEB90, ABE是线段CF的垂直平分线. .\BCBFBAAF, .LBCABCD. 【技巧点拨】本题通过添加辅助线后，构成中心对称图形，沟通了 BC、BA与CD的联系，由线段垂 直平分线性质得出BCBF,从而问题获得解决. FA B 六、将梯形补成平行四边形\ 卞T六 典例7如图10,梯形ABCD中，AB〃CD, M为腰BC的中点，\\ E D C 求证SZ\AMD1 S 梯形 ABCD. 2 【研析】 AAMD与梯形ABCD的面积关系不明显，如果利用梯形助特点把它补成如图的平行四边 形，它们之间的关系就清晰了. 延长BA,使AFCD,延长CD,使DEAB；则BF〃CE,BFCE,则四边形BCEF是平行四边形.P j_j_ 为EF的中点，连结PM, PM与AD交于点N.连结AP、PD,则S AAPM 2 S平行四边形BFPM 4 S平 ]_ 行四边形BCEF 2 S梯形ABCD. ..MN〃AB,M 是 BC 中点， AN为AD中点且是PM中点. .I四边形AMDP是平行四边形， ASAAMDSAAPN, ASAAMD-S 梯形 ABCD. 2 【品思感悟】梯形补成平行四边形，各种关系明显、直观，解题思路清晰. 通过解决以上问题可以看出，添加辅助线有助于把复杂的图形分解为简单的图形，把复杂的问题分解 为若干简单问题，把不规则图形转化为规则图形，有利于挖掘隐含条件，造成新的关系，使原题转化为容 易解决的问题.