运用口诀判断二次函数的系数关系式
运用口诀判断二次函数的系数关系式 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措,这里介 绍几个口诀来帮助同学们解惑. 1. 基础四看 “基础四看”是指看开口,看对称轴,看与y轴的交点位置,看与x轴的交点个数.“四 看”是对二次函数y=ax2+bx+c (a^O)的图象最初步的认识,而且这些判断都可以通 过图象直接得到,同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用. 例1二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图1所示,则下列说法不正确的是() (A)b2-4ac>0(B)a>0 (C)c>0(D)b0;[ 由对称轴在y轴的右侧,则a、b异号,故b0, b>0, c>0:在直线中,a>0, b>0,无矛 盾,可为备选答案. 对B中的图象分析可得:在抛物线中,a0, b0;在直线中,a0,有矛 盾,故排除. 对D中的图象分析可得,在抛物线中,a0, c0.其中正确的结论有() (A)l 个 (B)2 个 (C)3个 D. 4个方、■ 分析 本题中的②③三个字母都在,且\ , 符合“三全看点”的特征,其中②变形后为a-啊«―\ “ —b+c>0,由 f(—1)0,知4a+2b+c>0,符合要求. 本题中的①④字母不全,且符合“有缺看轴”的特征,其中①少c,可直接找对称轴, b 由对称轴方程为直线X=- —=1,即2a+b=0,符合要求;而④少b,显然是利用对称 2a 轴方程中b=-2a这个关系式,将原来式子中的b代换成了 a,我们可能根据“三全看点” 中a、b间系数的关系进行推演,不难找到其原有的式子,或为a—b+c,或为9a+3b+c, 再任取其一判断,可得3a+c0; ③a+b0;⑤a—b>2.其中正确结论的个数为() (A)l 个(B)2 个 (C)3 个(D)4 个 分析本题有一个重要数据条件“与y 轴相交于(0, —2)”,即c = -2.所以本题不少 选项中的C为一2所取代,如在③中要判断a +b0,故③错误; 同样在⑤和①中,可将原来要判断的式子变为“a—b+c”与“4a+2b + c”,分别取x =—1与x = 2,即知①⑤都是错误的. 由④所给的“b2+8a>0”可联想到“抛物线与x轴有两个交点”,所以由b2-4ac>0即 得④正确. 只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法,此抛物线的对称轴为直线X=-—,由“抛 2a 1 b 3 物线与 X 轴相交于(X1,0),(X2, 0)两点,且 00;②a+b + c0;④a—2b+4c>0;⑤a= — b. 2 你认为其中正确信息的个数有() (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 分析 本题可用“取值法”判断. 41 根据对称轴取(一一,0)、(―,0)两点,再任取与y1 * 3 3*-云 J 轴正半轴上的一个交点(0, 1),可求出 9 2 3』,,i \: y=-§x+l,-2 /-i i 93 即得 a= — — , b= — — , c= 1.图 5- 4 2 把它代入到①~⑤中,即可知都是正确的. 所以本题答案是D. 注 用“取值法”在解决此类问题时,通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可, 但如果遇到抛物线在某特定范围内变化时,要判断某些字母的取值范围时,我们还要采用 “取临界值法”加以研究. 例6如图6所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A( —1, 0),顶点坐标为(1, n),与y轴的交点在(0, 2)、(0, 3)之间(包括端点).有下列结论:①当x>3时,y0;③一1— — ;^n5~4.其中正确的有() (A)l 个(B)2 个 (C)3