运用口诀判断二次函数的系数关系式

运用口诀判断二次函数的系数关系式 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介 绍几个口诀来帮助同学们解惑. 1. 基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数.“四 看”是对二次函数yax2bxc aO的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通 过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用. 例1二次函数yax2bxca0的图象如图1所示，则下列说法不正确的是 Ab2-4ac0Ba0 Cc0Db0 分析 根据“基础四看”，由抛物线开口向上，故a0；[ 由对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，故b0\ |、 由抛物线与y轴交于负半轴，故c0；七 由抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac0.I 所以本题答案是C.图1 例2函数yax2bxc和yaxb在同一坐标系中，如图所示，则正确的是 分析对于几个函数图象组合的辨别，笔者常用的一种方法是“矛盾排除法”. 对A中的图象分析可得在抛物线中，a0, b0, c0在直线中，a0, b0,无矛 盾，可为备选答案. 对B中的图象分析可得在抛物线中，a0, b0, c0；在直线中，a0, b0,有矛 盾，故排除. 对C中的图象分析可得在抛物线中，a0, b0, c0；在直线中，a0, b0,有矛 盾，故排除. 对D中的图象分析可得，在抛物线中，a0, b0, c0；在直线中，a0, b0,有矛 盾，故排除. 所以本题答案是A. 注从上面介绍中可以看到，对于某个二次函数yax2bxca0的图象我们可以 对单独的a、b、c与△进行直接判断，同时也可以对a、b、c的简单乘除组合式进行符号 判断.但如果遇到关于a、b、c间的一些加减组合式又如何来处理呢 2. 组合二看 1 三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如abc, “abc”, “4a2bc”, 4a 2bc”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1,这时 只要取x为b前的系数代入二次函数y ax2bxc就可以得到所需的形式，从而由其对 应的y的值时进行判断即可. 2 有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何 解决呢其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决.少一个 字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了 a、b之间的转换关系，如果少的是字母c,则 直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b,则可利用对称轴提供的a、b 间转换信息，把a 或b用b 或a代换即可. 例3已知二次函数aNO的图象如图3所示，有下列4个结论①2abO；② bac；③4a2bc0；④3ac0.其中正确的结论有 Al 个 B2 个 C3个 D. 4个方、■ 分析 本题中的②③三个字母都在，且\ , 符合“三全看点”的特征，其中②变形后为a-啊\ bc0,由 f10,知 abcvO,_ 图3 不符合；③中由f20,知4a2bc0,符合要求. 本题中的①④字母不全，且符合“有缺看轴”的特征，其中①少c,可直接找对称轴， b 由对称轴方程为直线X- 1,即2ab0,符合要求；而④少b,显然是利用对称 2a 轴方程中b-2a这个关系式，将原来式子中的b代换成了 a,我们可能根据“三全看点” 中a、b间系数的关系进行推演，不难找到其原有的式子，或为abc,或为9a3bc, 再任取其一判断，可得3ac0,不符合. 所以本题答案是B. 例4如图4,已知二次函数y ax2bx c的图象与x轴相交于x,, 0, x2, 0 两点，且0 xil, lx2 2,与y轴相交于0, -2.下列结论①2abl；②3ab0； ③ab2； b2 8a0；⑤ab2.其中正确结论的个数为 Al 个B2 个 C3 个D4 个 分析本题有一个重要数据条件“与y 轴相交于0, 2”，即c -2.所以本题不少 选项中的C为一2所取代，如在③中要判断a b2是否正确，就是要看ab20是否正确，即判断abc”,所以可以取xl得 abc0,即 ab20,故③错误； 同样在⑤和①中，可将原来要判断的式子变为“abc”与“4a2b c”，分别取x 1与x 2,即知①⑤都是错误的. 由④所给的b28a0”可联想到“抛物线与x轴有两个交点”，所以由b2-4ac0即 得④正确. 只有②的辨别可用“有缺看轴”的方法，此抛物线的对称轴为直线X-,由“抛 2a 1 b 3 物线与 X 轴相交于（X1，0）,（X2, 0）两点，且 0X11, 1VX1V2” 可知 2 2a 2 且“抛物线下口向下”知“avO”,故有“ab0”或“3abvO”,可得②错误. 所以本题答案是A. 注 与“基础四看”相比，“组合二看”的要求显然高的多，尤其是出现字母有缺时, 更要求同学们能充分把握函数图象中所给的信息. 3. 取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据 （或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断. 例5从如图5所示的二次函数yax2bxc （a0）的图象中，观察得出了下面五 3 条信息①ab0；②ab c0；③b 2c0；④a2b4c0；⑤a b. 2 你认为其中正确信息的个数有（） （A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）5 个 分析 本题可用“取值法”判断. 41 根据对称轴取（一一，0）、（，0）两点，再任取与y1 * 3 3*-云 J 轴正半轴上的一个交点（0, 1）,可求出 9 2 3』,,i \ y-xl，-2 /-i i 93 即得 a , b , c 1.图 5- 4 2 把它代入到①⑤中，即可知都是正确的. 所以本题答案是D. 注 用“取值法”在解决此类问题时，通常只要取一组适合条件的点求出解析式即可, 但如果遇到抛物线在某特定范围内变化时，要判断某些字母的取值范围时，我们还要采用 “取临界值法”加以研究. 例6如图6所示，抛物线yax2bxc与x轴交于点A 1, 0,顶点坐标为1, n,与y轴的交点在0, 2、0, 3之间包括端点.有下列结论①当x3时，y0；② 2 Q 3ab0；③一1 ；n54.其中正确的有 Al 个B2 个 C3