选修2-3计数原理----§151二项式定理(学案)
§ 1.5. 1二项式定理 【学习导航】 知识网络 —二项展开式 二项式定理二项展开式的通项 ■—利用二项展开式解决相关问题 学习要求 1. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式; 2. 灵活运用它们解决与二项展开式有关的简单问题. 自学导航 1. 二项式定理:((a + by =; 2. 二项展开式的通项Tr+l =; 3. 二项展开式中某一项的系数与二项式系数的区别:; 4. 特例:(1 + x)“ =. 精典范例 例1某人投资10万元,有两种获利的可能供选择.一种是年利率12%,按单利计算, 10年后收回本金和利息.另一种年利率10%,按每年复利一次计算,10年后收回本金和 利息.试问,哪一种投资更有利? 例2展开(1 + 2.X)4 探究题 1:算式 l + 4(A -l) + 6(.r-l)2 +4(x-1沪 +(x-l)4 等于. .r4 探究题 2:求证:32,! + C\32^2 + C\32/“4 + • • • + C;;^ --r + • • • + Cf132 +1 = 10” 例3 (1) (2五-上)6展开式的常数项是 (用数字作答); X (2)若危3+-^)”的展开式中的常数项为84,贝“=. XyJX 探究题1: (1)在(1 - A )5 + (1 - A )6 + (1 - A )7 + (1 - A )8的展开式中,含尸的项的系数 是. (2) 在(x —1)(》+ 1尸的展开式中%5的系数是. (3) 求(x2+3x + 2)5展开式中含x项的系数. 探究题2:已知/(.r) = (l+x)m+(l+x)H,其中m n@N展开式中x的一次项系数为11,问 “7、”为何值时,含X”项的系数取得最小值?最小值是多少? 【追踪训练】 1. 在二项式(子-I)5的展开式中,含b的项的系数是. X 2. (7^-—)10的展开式中含X的正整数指数幕的项数是. 3x 3. 若(1 + ^2)5 = a + b^/2(a,b为有理数),贝^\a + b=. 4. 若多项式 X~ ++ (X + 1) + • • ■ +。9(X + 1)~ + €?[()(X + 1)1°,贝[|。9 =• 【反思与问题】 1. 我已掌握的知识和方法: 2. 我的疑问: 分层训练 1. 设(1 + X)8 = aQ +alx+--- + a&xs,则中奇数的个数为. 2. 在(x — l)(x-2)(x — 3)(x — 4)(x — 5)的展开式中,含x,的项的系数是. 3. (1 + 2右)3(1—衣)5的展开式中X的系数是. 4. (x + -)5 (xeR )展开式中尸的系数为10,则实数a等于. x 5. 在3 +昉y)2°展开式中,系数为有理数的项共有 项. 6. 记(2x + -)n的展开式中第m项的系数为如,若么=2知,则”— 拓展延伸 1. 设q(n = 2,3,4,.)是(3 +的展开式中x的一次项的系数,则 20 1 0 , 32 333201\ 面侦+房“I顽)的值正 2. 设(%2 — 2x — 2尸=% + %(X + 2) + 缶皿 + 2尸 + . + Q]2(X + 2)12, 其中a^i = 0,1,2.12)为常数,则2角 +6% +12角 +20% +. + 132(^2 =