《向量加法运算及其几何意义》
向量加法运算及其几何意义 昌平一中许雪 —、教学目标 知识目标:理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向 量的和;掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算. 能力目标:经历向量加法概念、法则的建构过程,感受和体会将实际问题抽象为数学概念的 思想方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力. 情感目标:经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程,体验探索的乐趣,激发学生的学习 热情.培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质. 二、重点与难点 重点:向量加法的定义与三角形法则的概念建构;以及利用法则作两个向量的和向量. 难点:理解向量的加法法则及其几何意义. 三、教法学法 教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”. 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式. 四、教学过程 新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程,是一个学生思考、体验的过程,更是 一个师生互动、发展的过程.基于此,我设定了 5个教学环节: 一、创设情境引入课题 师:在前『节课中我们学习了♦个新的量——向量,今天就让我们共同来探究向量的加法运 算,首先,请看课件.(出示) 师:他是谁? 生:丁俊晖. 师:对,著名的台球神童丁俊晖?大家请看他好 像遇到了难题?(出示)你能不能帮助他解决啊? 活动设计:学生参与讨论(教师提问,学生回答:翻袋进球) 再来看另二个问题:在两岸通航之前,要从北京 到达祖国的宝岛台湾,我们需要从北京国际机场乘飞 机抵达香港,然后转机才能到达,如今通航后呢?我 们可以直接到达,节省了大量的时间和金钱.如」 ° % ■« a* y* 无论是台球还是飞机,从最初的位置到达最终的■就 位置都是经历了两次位移,如果从作用效果角度来看,k* 这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位舟z*1 移,在物理上,我们就把这次位移称作是之前两次位移之和. 同学们,请思考问题1: 【问题1】位移求和时,两次位移的位置关系是什么?如何作出它们的和位移? ——两次位移首尾相连,其和位移是由起点指向终点. 学生活动:学生讨论,自主探究 位移是个物理量,如果抛开它的物理属性,它正是我们研究的一一向量.那么,受到位移求和 的启发,能否找到求解向量之和的方法呢? 于是,我们顺利的进入了本节课的第二个环节: 二、实践探究 总结规律 我首先提出了问题2: 【问题2】如图所示,对于向量4和方如何求解它们的和呢? 活动设计:小组探究、代表汇报 和物理中的位移求和问题有所不同的是,在数学中任意两个向量相加时, 他们未必是首尾相连的啊,应该如何处理呢? 对于这个问题我没有急于给出问题的答案,而是鼓励学生大胆试验和探究,我深入学生中与 他们交流,了解学生思考问题的进展过程,帮助他们突破思维的障碍,投影学生的解题过程,纠正 出现的错误,规范书写的格式. 最终,由他们自己得出问题的答案: 生:“在平面内任取一点O,平移。使其起点为点O, W b 使其起点与a向量的终点重合,再连接向量。的起点与向量方的 终点 此时,教师鼓励学生自己给出定义: 加法的定义:已知向量次片,在平面内任取一点O,作0A = a,AB = b ,则向量而叫做向 ―*, ―*,―» ―»__ __ 量。,Z?的和.记作:a + b .即 a+b = OA + AB = 0B . 向量加法的法则:和的定义给出了求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的,这种方法经常出现在几何中,这一点也更好的 体了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征. 至此,已经了解了加法定义与三角形法则,同时,我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平 行四边形法则. 我创设了情景:“观察非洲角马过河的音像短片”. 对于平行四边形法则学生已经非常熟悉,他们关心的是两个法则之间的联系与区别,于是,我 提出了问题4. 【问题3】平行四边形法则有何特点? 生:是平移两个向量至共起点. 【问题4]想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗? 活动设计:学生以小组为单位讨论,小组汇报比比谁的例子最多,最贴切. 完成了这个探究,接着,我进入第三个环节. 三、类比联想探究性质 首先我设计了问题5: 【问题5】请类比实数加法的性质完成表格,并通过画图的方法验证你的结论. 活动设计:师生探究、课件演示 通过和实数加法性质进行类比,学生很容易得出向量加法的性质,对于交换律的验证我让学生 通过画图自己动手验证,而对于结合律的验证,则由师生借助于多媒体共同完成. 至此,本节课的概念教学已经完成,于是我引导学生进入第四环节: 四、数学运用深化认识 实数的加法 向量的加法 性 a + b = b + a a+b=b+a 质 (a+b)+c = a + 0+c) (“+ 方)+ C = 3 + (方 + c) 在这个环节,我设置了 2道例题和2道练习. 接下来,为了检验对于概念的理解和掌握,我设置了一道例题来强化概念: 通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的,反映了三角形法则具有广泛 的适用性. 例2:根据图示填空 在训练三角形法则的同时,使同学们注意到三角形法则 推广至U n个向量相加的形式.即Aq Aj + Aj A2 + A2 + • • • + An_j An = Ao An 例3:长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸A点出发, 以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东每小时3公里. (1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;(保留两位有效数字) (2) 求船实际航行的速度大小与方向.(用与江水速度间的夹角表示,精确到度) 五、回顾反思拓展延伸 本环节有课堂小结和作业布置两部分内容: 课堂小结: 【问题6】同学们想一想:本节课你有些什么收获呢?留给你印象最深的是什么?作为课堂的 延伸,你课后还想作些什么探究? 新课程理念尊重学生的差异,鼓励学生的个性发展,所以,对于课堂小结我设置一个开放性的 问题,期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐,增强学习数学的信心. 作业布置: 在布置作业环节中,设置了两组练习,一组必做题,一组探究题,这样可以使学生在完成基本 学习任务的同时,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的 喜悦,看到自己的潜能,从而激发学生饱满的学习兴趣. (1) 作业:P66 习题 2. 2 的 1. 2. 3. (2) 拓展探究:当在数轴上表示两个共线向量时,它们的加法与数的加法有什么关系?