圆与方程单元复习 一、基础知识 1. 圆的标准方程(x —a)2+(y — b)2 =尸, 圆的一般方程x2 + y2 +Dx + Ey + F =0 (D2+E2-4F >0). 2. 点 P(x0, y0)与圆(x-a)2 +(y-Z?)2 = r2 的位置关系: (1) 点在圆内 0 (x — a)2 + (y —Z?)2 两圆内切; d v/ -弓I 两圆内含. 6. 若两圆子 + y2 +£)]] + £■])? + § = 0 与工2 +y2 +£)2^+£2^+=0 相交于 A、B 两点, 则过 A、B 两点的圆系方程为 %2 + / + £)]«x + _£*])+ 乌 + 4(子 + y2 + d?x + E2y + 7^) — 0 (4^-1).当/l = —1时,方程表示两圆公共弦所在直线(两圆相切时是公切线)的方程. 7. 如果片31,、1,11), P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点, 贝U= J(Xi 一兀2尸+(》i 一 乃尸+(G —盅)2 . 二、典例分析 例1.根据下列条件求圆的方程: (1) 经过坐标原点和点P (1,1),并且圆心在直线2x+3y+l=0上; (2) 已知一圆过P (4,-2)、Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为件,求圆的方程. 解(1)显然,所求圆的圆心在0P的垂直平分线上,0P的垂直平分线方程为:x+y-1=0. 解方程组= °,得圆心C的坐标为(4, -3).又圆的半径r=|OC|=5, [2.v + 3y + l = O 所以所求圆的方程为(x-4) +3+3)2=25. (2) 设圆的方程为xJy +Dx+Ey+FD ① 将P、Q点的坐标分别代入①得: f4D-2E + F = -20② [D-3E-F = 10③ 令x=0,由①得y2+Ey+F=0④ 由 I yi_y21 =4 >/3 ,所以(yi-y2) 2= (yi+y2)2-4yiy2=E2-4F=48⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D=-2, E=0, F=-12或D=-10, E=-8, F=4, 故所求圆的方程为 x2+y~-2x-12=0 或 x +y2-10 x-8y+4=0. 例 2.已知圆 C: (x-1) 2+(y-2)=25 及直线 1: (2m+l)x+(m+l)y=7m+4 (meR). (1) 证明:不论m取什么实数,直线1与圆C恒相交; (2) 求直线1被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. 证明(1)直线 1 可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0, 即不论m取什么实数,它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点. 两方程联立,解得交点为(3, 1), 又有(3-1) 2+ (1-2)七5<25, .•.点(3, 1)在圆内部,.I不论m为何实数,直线1与圆恒相交. (2)解从(1)的结论和直线1过定点M (3, 1)且与过此点的圆C的半径垂直时,1被圆 所截的弦长|AB|最短,由垂径定理得 AB|=2jr、CAT = 2J25-[(3-以+(1-2)2] =M.此时,kt=- —=2. kcM Al 的方程为 y-l=2(x-3),即 2x-y=5. 例3.已知点P (x, y)是圆(x+2)2+y2=l ±任意一点. (1) 求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值; (2) 求x-2y的最大值和最小值;(3)求匕二的最大值和最小值. x-1 解:(1)圆心 C (-2, 0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为= y/y+425 .P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=? + l=?,最小值为d-r=|-l=|. (2)设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆(x+2)吓尸之二].有公共点, [2 L Wl.7? -2,tmax= a/5 ~2, tmin=_2- 7?. Jr+2? (3) 设k二工兰,则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2) 2+y2=l有公共点, x-1 v _3 + a/3 v _3-V3 Kmax —, Kmin— .•.盘 wk/+心 7F+T 4 三、综合练习 1. 圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=l的距离为 A.也B. 1C. 72 2 2. 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 A. a<-2 或B. -2