圆与方程单元复习

圆与方程单元复习 一、基础知识 1. 圆的标准方程x a2y b2 尸， 圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 D2E2-4F 0. 2. 点 Px0, y0与圆x-a2 y-Z2 r2 的位置关系 1 点在圆内 0 x a2 y Z2 r2 2点在圆上x y b r2 3点在圆外 x-a2 y-b2 r2 3. 直线/ Ax By C 0A,B不全为0,圆C x 一口尸y 一们2 产，圆心到直线 的距离为d,直线与圆的位置关系的判断方法 1 几何法d〉r 直线与圆相离;d r 直线与圆相切;d直线与圆相交. 2 代数法联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x 或关于y的 一元二次方程，设其判别式为△,则△ 0 0直线与圆相离;公2 0直线与圆相切； △〉0 0直线与圆相交. 4. 直线被圆截得弦长的求法1几何法运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三 角形，计算弦长|A3|2/2一小. * 2代数法用一般的弦长公式照祯 摩诉-对. 5. 两圆的位置关系设两圆的圆心距为d ,两圆半径分别为*，命，则d 两圆相 离；d 两圆外切；I “ -「2 k d V「o两圆相交；dy-今lv两圆内切； d v/ -弓I 两圆内含. 6. 若两圆子 y2 ]] ■] 0 与工2 y2 220 相交于 A、B 两点， 则过 A、B 两点的圆系方程为 2 / ]x _*] 乌 4子 y2 dx E2y 7 0 4-1.当/l 1时,方程表示两圆公共弦所在直线两圆相切时是公切线的方程. 7. 如果片31，、1，11, P2x2,y2,z2是空间中任意两点， 贝U JXi 一兀2尸i 一 乃尸G 盅2 . 二、典例分析 例1.根据下列条件求圆的方程 1 经过坐标原点和点P 1,1,并且圆心在直线2x3yl0上； 2 已知一圆过P 4,-2、Q-1,3两点，且在y轴上截得的线段长为件,求圆的方程. 解1显然，所求圆的圆心在0P的垂直平分线上，0P的垂直平分线方程为xy-10. 解方程组 ，得圆心C的坐标为4, -3.又圆的半径r|OC|5, [2.v 3y l O 所以所求圆的方程为x-4 33225. 2 设圆的方程为xJyDxEyFD ① 将P、Q点的坐标分别代入①得 f4D-2E F -20② [D-3E-F 10③ 令x0,由①得y2EyF0④ 由 I yi_y21 4 /3 ,所以yi-y2 2 yiy22-4yiy2E2-4F48⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D-2, E0, F-12或D-10, E-8, F4, 故所求圆的方程为 x2y-2x-120 或 xy2-10 x-8y40. 例 2.已知圆 C x-1 2y-225 及直线 1 2mlxmly7m4 meR. 1 证明不论m取什么实数，直线1与圆C恒相交； 2 求直线1被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程. 证明1直线 1 可化为 xy-4m2xy-70, 即不论m取什么实数，它恒过两直线xy-40与2xy-70的交点. 两方程联立，解得交点为3, 1, 又有3-1 2 1-2七525, ..点3, 1在圆内部，.I不论m为何实数，直线1与圆恒相交. 2解从1的结论和直线1过定点M 3, 1且与过此点的圆C的半径垂直时，1被圆 所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 AB|2jr、CAT 2J25-[3-以1-22] M.此时，kt- 2. kcM Al 的方程为 y-l2x-3,即 2x-y5. 例3.已知点P x, y是圆x22y2l 任意一点. 1 求P点到直线3x4y120的距离的最大值和最小值； 2 求x-2y的最大值和最小值；3求匕二的最大值和最小值. x-1 解1圆心 C -2, 0到直线 3x4y120 的距离为 y/y425 ...P点到直线3x4y120的距离的最大值为dr l,最小值为d-r|-l|. 2设tx-2y, 则直线x-2y-t0与圆x2吓尸之二].有公共点, [2 L Wl.7 -2,tmax a/5 2, tmin_2- 7. Jr2 3 设k二工兰，则直线kx-y-k20与圆x2 2y2l有公共点, x-1 v _3 a/3 v _3-V3 Kmax ， Kmin ..盘 wk/心 7FT 4 三、综合练习 1. 圆x2y2-2x4y30的圆心到直线x-yl的距离为 A.也B. 1C. 72 2 2. 方程x2y2ax2ay2a2a-10表示圆，则a的取值范围是 A. a-2 或B. -2a - C.-2a0 33 C D. 2 B 7 D. --a0 3 A.相交 B.外切 C.相离 D. 内切 3. 圆亍 y 2 _ 2 0和圆亍 y2 0的位置关系是 4. 空间两点A, B的坐标分别为x,-y,z,-x,y,z,则A, B两点的位置关系是D A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于z轴对称 5. 过点A 1, -1, B -1, 1,且圆心在直线xy-20上的圆的方程是C A. x-3 2 y1 24B.x32 y-1 24 C. xT y1尸4D.x12 y1 24 6. 以点2, -1为圆心且与直线3x-4y50相切的圆的方程为C A.X-2勺y1 23B.x22y-D23 C. x-22yl29D.x22y-l9 7. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y0和x轴都相切，则该圆的标准 方程是B A. x3 y71B. x2yTl 3 C. x-l2y-3lD. y-lTl 8. 直线x-2y-30与圆C