6数学基础知识与典型例题复习--不等式
重 要 不 等 式 1. 定理1:如果a,b(x\x是正实数}, 那么^-^4ab (当且仅当时取“=“号). 2 注:该不等式可推出:当a、b为正数时, 有〉%2、方 a b (当且仅当a = b时取“=“号) 即:平方平均数,算术平均数,几何平均数N调和平 均数 2. 含立方的几个重要不等式(心b、c为正数): ⑴。,+Z?3+ q万之 (2)由 a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 可推出 a3+b\c3 ^3abc (o+Z? + c>0等式即可成立,G=》= t^+b+c = Offt取等); ⑶如果a,b,c^ {x|x是正实数},那么a+b + c ^l/abc ■ 3 (当且仅当a=b=c时取“=”号) 3. 绝对值不等式: (1)|a|-|z?|制0”是“ 0 +空、息“ 2 的() (A) 充分而非必要条件 (B) 必要而非充要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 例 7.若 /(x) = log 1 x, 2 A=f 咛),G=f(同, H= /(—),其中 a,beR+, a + b 则A,G,H的大小关系是() (A) AWGWH (B) AWHWG (C) HWGWA (。)GWHWA 例 8.若 a,b,c c R+ ,且 a+b+c = lf 另K么—+-+-W a b c 最小值() (A)6(B)9 (C)4 (D)3 例 9.不等式 y = x(l-3x) (Os。 的最大值是() 4111 (A)— (B) —(O—(D)- 例 10.若 a+b+c = 3,且□、b、 ceR+,则 —^―+ -的最小值 a + b c 为—• 数学基础知识与典型例题 第六章不等式 不等式知识关系表 实数大小比较 不等式的性质 不等式的性质 (1)(对称性或反身性)a>bobva; (2)(传递性)a>b, b>c^a>c\ (3)(可加性)。对n。+c对+c,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a>b, c>d=>a + c>b+d (4)(可乘性)a〉b, c>Onac>bG a〉b, c0, c>d>,nac>bd (5)(乘方法贝U)i>Z?>O(〃eN) = q“ >bn >0 (6)(开方法则)。>Z?>0(〃eN,〃N2) = g>^>0 (7)(倒数法见J) a>b, «/? > 0 => — 2c”成立的一个 充分条件是() (A)o>c 或 b>c (B)a>c 且 bc 且 b>c (D)a>c 或 bZ?,下列式子中 ®-/; a b ③ Ig(fl2+I)>w2+1); ④ 2° >26,正确的有() (A)l 个(B)2 个 (C)3 个(D)4 个 例 3.78-76^77-75 的大 小关系为 t 例4.设n>-l ,且〃更1,则 «3 +1与—+ 〃的大小关系 是. 例5.已知a,fi满足 J-lWa + 0Wl 的取值范围. 试求a+ 3“ 不 等 式 解 法 ②对数不等式 loga f(x) > lOga g(%)(。> 0且tZ A 1)的 同解不等式: f/W>o 当5时,为g(x)>0; l/(x) > g(x) [f(x)>0 当°。 f(x) ao f (x) >。或/* (x) [g(x)]2 对含有几个绝对值符号的不等式,用分区间的 方法化为等价的不含绝对值的不等式组。 注:绝对值的几何意义: 表示数轴上的数X对应的点与原点的距离. |x-tz|表示数轴上的数x对应的点与数a对 应的点的距离. (6)含字母系数的不等式 对上述各类不等式,都可能涉及到不等式中的 字母系数,解不等式时,对字母的取值要进行恰当 的分类,分类时要不重、不漏,然后根据分类进行 求解。 注:解不等式是求定义域、值域、参数的取值 范围时的重要手段,与“等式变形”并列的“不等 式的变形”,是研究数学的基本手段之一。 例15.不等式lg(x2-l)0(或NO)或440(或<0)同解 ② 来河(或< 0)与不等式组m’ °[或m W牛解 g(x) 1IJ (3) 无理不等式:将无理不等式变形为与它同解的 不等式组。 ① 不等式77W》g (工)的同解不等式组是