6数学基础知识与典型例题复习--不等式

重 要 不 等 式 1. 定理1如果a,b（x\x是正实数｝, 那么-4ab （当且仅当时取号）. 2 注该不等式可推出当a、b为正数时， 有〉％2、方 a b （当且仅当a b时取号） 即平方平均数，算术平均数，几何平均数N调和平 均数 2. 含立方的几个重要不等式（心b、c为正数） ⑴。，Z3 q万之 （2）由 a3b3c3-3abc （abc）（a2b2c2-ab-ac-bc） 可推出 a3b\c3 3abc （oZ c0等式即可成立,G tbc Offt取等）； ⑶如果a,b,c ｛x|x是正实数｝,那么ab c l/abc ■ 3 （当且仅当abc时取“”号） 3. 绝对值不等式 （1）|a|-|z|制同叫（沥mo时,取等号） （2）|。］。2。3| J 2I |3| 注均值不等式可以用来求最值（积定和小，和 定积大）,但特别要注意条件的满足一正、二定、三 相等. 例6.“a0且fc0”是“ 0 空、息 2 的 A 充分而非必要条件 B 必要而非充要条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 例 7.若 /x log 1 x, 2 Af 咛,Gf同, H /,其中 a,beR, a b 则A,G,H的大小关系是 A AWGWH B AWHWG C HWGWA 。GWHWA 例 8.若 a,b,c c R ,且 abc lf 另K么--W a b c 最小值 A6B9 C4 D3 例 9.不等式 y xl-3x Os。 的最大值是 4111 A B OD- 例 10.若 abc 3,且□、b、 ceR,则 -的最小值 a b c 为 数学基础知识与典型例题 第六章不等式 不等式知识关系表 实数大小比较 不等式的性质 不等式的性质 （1）（对称性或反身性）abobva; 2传递性ab, bcac\ （3）（可加性）。对n。c对c,此法则又称为移项法则; （同向可相加）ab, cda cbd 4可乘性a〉b, cOnacbG a〉b, cOacbc. 正数同向可相乘ab0, cd，nacbd （5）（乘方法贝U）iZO（〃eN） q bn 0 （6）（开方法则）。Z0（〃eN,〃N2） g0 （7）（倒数法见J） ab, / 0 a b 掌握不等式的性质，应注意条件与结论间的对应关系， 是“ n ”符号还是“ o 符号；运用不等式性质的关键是 不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。 运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这 些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本 手段. 例1, “ab2c”成立的一个 充分条件是 Aoc 或 bc Bac 且 bc Cac 且 bc Dac 或 bc 例2.若qZ,下列式子中 --；②疽/； a b ③ Ig（fl2I）w21）； ④ 2 26，正确的有（） （A）l 个（B）2 个 （C）3 个（D）4 个 例 3.78-7677-75 的大 小关系为 t 例4.设n-l ,且〃更1,则 3 1与 〃的大小关系 是. 例5.已知a,fi满足 J-lWa 0Wl 的取值范围. 试求a 3 不 等 式 解 法 ②对数不等式 loga fx lOga g。 0且tZ A 1的 同解不等式 f/Wo 当5时，为gx0； l/x gx [fx0 当次1时,为。 fx gx 因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意 利用对数的性质化为同底不等式. 5绝对值不等式 解绝对值不等式关键是化为等价的不含绝对值 符号的不等式组，主要方法 |/x| ao f x 。或/* x a； \f x\a-afxa； |/x| g ⑴[/W]2 [gx]2 对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的 方法化为等价的不含绝对值的不等式组。 注绝对值的几何意义 表示数轴上的数X对应的点与原点的距离. |x-tz|表示数轴上的数x对应的点与数a对 应的点的距离. 6含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的 字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当 的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行 求解。 注解不等式是求定义域、值域、参数的取值 范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等 式的变形”，是研究数学的基本手段之一。 例15.不等式lgx2-ll的解 集是. 例16.解不等式 lgx--0. 例17.解关于x的不等式 2J [ 3〉] x1 ax 不 等 式 的 不等式的证明 1.证明不等式的基本依据 1 实数大小的比较原则； 2 不等式的性质； 3 几个重要不等式，特别是算术几何平 均值不等式 例18.已知xGR, r2 -r-1 求证2W 公X 12. X X 1 不 等 式 解 法 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因 此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元一次不等式和一元二次不等式是最简单的 不等式.其它不等式，如高次不等式、分式不等式、 无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、 含有字母系数的不等式等，一般都转化为一元一次 不等式组或一元二次不等式组来解。 解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形 过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它 的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解 各类不等式的思路和方法。 1 高次不等式/X0 或V0若fx可以分 解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标 根法来解。 2 分式不等式q20或NO或440或W0 gxgx 要正确运用以下同解原理。 ① 或vO与/x・gx0或0同解 ② 来河或 0与不等式组m’ [或m W牛解 gx 1IJ 3 无理不等式将无理不等式变形为与它同解的 不等式组。 ① 不等式77Wg 工的同解不等式组是