有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨
有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨 姚斐 安徽合肥学院 摘要:非线性分数微分方程作为高等数学教学的重要内容,其正解的存在唯一性一直以来 既是学术探讨的热点,也是大学生必须掌握的重点。本文以非线性分数微分方程为例,分析 非线性分数正解的存在唯一性,并通过数学定理加以证明。最后结合实例,讨论了非线性分 数微分方程正解的存在唯一性的实践运用,对当前大学高等数学教学意义重大。 关键词:高等数学,非线性分数微分方程,正解,存在唯一性 引言 非线性分数微分方程正解存在唯一性是现代工程领域的学术研究问题,也是学术家们用其 解决很多实践依据。如何让学生触类旁通地掌握教学过程中非线性分数微分方程正解存在唯 一性,既是一个教学难点,又是一个能力重点。 1、有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性描述: 微分方程(r,x)e R* x R, (1) + /O = -f (« X 其中 u(O9X)=(a:), v(o,x) = u0(x), X w R. /(“)为耗散项。 当f(u) = 2au, cr>0为常数时,得到非线性分数微分方程正解存在唯一性的结果。有学 者研究了/(«)为非线性函数,但考虑 ” ”(w 的情形。因此一旦“W)为卩,它 相应于00 为常数。 那么微分方程⑴的特征值: 丸=— J—,11 =“©) ° ⑵ 相应的Riemann不变量是: r = u +。(“) a — 0何其中Xv)=匸厂疋⑶ 在正解的意义下,存在唯一性可化为如下等价的存在唯一性 其中 r(O,x)= Zofx)» s(O—)=q(乂)= 5〔乂) + 0(匕』乂)), S0\x\ = uo x \ ^(vo xl) o进一步假设初值满足如下条件: (比)如工I,心闵且0V几孙 Cf(/?)表示G(/?)中的有界集。 并且 ■r max-sup|厂O|,SUp卜,对、v min{_ 0(0),0(8)}。5)在上述的假设下,我 • XX 们的主要结果是:定理2.】假设(“),“)和“)成立。如果sup/ZupM) -V-V 足够小,则存在唯一性(1.1)、(1.2)(等价于(2.4)、(2.5))在上半平面/>()存在唯一的 整体光滑解。 2. 正解唯一性的定理证明 特征线法 引理 假设(码),(片2)和(丹3)下,存在唯一性在非线性分数解存在区域内成立 卜卜(笃对< My⑹ supk)(兀爪 sup |s° (x)- XXJ 证明 设(H 2)的方程为 (7) #7 = -y /,(血X厂 + S), 其中 O v0 =夕(厂,s)vl,“)=<“(“),_± = © +兄空,卫_ = 2_ +“空.令 dudxt dt dxc/2r dt dx 。一、、:=疋日詁Q“, 7 = $衣『胡CM 巴 0) = sup f (“(?,))• X 于是山(7)式,得到(8) yy = *(巴(门一厂(傲)):一*/ (锯斤, 乂令M)=max{sup|7(F,*,SUp匹,对〔如果(匚兀)为U正解存在区域内的任意一点, - XX 并过点(/,兀)作2 —特征线和“ 一特征线,分别交于%轴的点(O,a)和(0,0)沿特征线从0 到f分别积分,那么得到: r(r, x) = G(c)+]*;){舟(尺(『)一/伽))7• — 舟.厂(创)s (r 宀 (9) $(r,x) = f (c) + J:{舟(刁(片)一 / ©iy)s 一!厂(6kc)厂(r,心(r,rz>/r) 当厂S) N2a> O时,止解|(巧一厂(血))7 一广(金闷 <(巧一厂(血)叼+ .厂(血)|耳< F\h; 得到 M)W+舟力(少(卄,他MM。严g(10) 再由式(8)、(9和(10)的逆比和求解,得到 |心x) S M。,卜(匚对V M。。可见,非线性分数解存在区域内 正解存在唯一性。 推论 在引理的假设之下,存在唯一性在光滑正解存在区域内成立,那么对SM。, O < V < v(/,x)< V .(11) 其中,0 V t V 1,1 v讶v 8分别由下式所定义: 0(丄)=,0(2)= J,J-仃2) 很显然有: \u(t,x^ =舟|厂&,兀)+ s(r,x)| < Ma= -i-|r(r,A)- 5(r,A)| M (⑶ 又由(円J的演算得到 ^(O)< — A70 < ^(v) < A/o v0(8)(14) 只有当时,0何为非线性分数解存在区域内函数,0(v)<0(p)<^v 所以得到非线性分数解存在区域内唯一性表示为:0