有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨

有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性分析与探讨 姚斐 安徽合肥学院 摘要非线性分数微分方程作为高等数学教学的重要内容，其正解的存在唯一性一直以来 既是学术探讨的热点，也是大学生必须掌握的重点。本文以非线性分数微分方程为例，分析 非线性分数正解的存在唯一性，并通过数学定理加以证明。最后结合实例，讨论了非线性分 数微分方程正解的存在唯一性的实践运用，对当前大学高等数学教学意义重大。 关键词高等数学，非线性分数微分方程，正解，存在唯一性 引言 非线性分数微分方程正解存在唯一性是现代工程领域的学术研究问题，也是学术家们用其 解决很多实践依据。如何让学生触类旁通地掌握教学过程中非线性分数微分方程正解存在唯 一性，既是一个教学难点，又是一个能力重点。 1、有关非线性分数微分方程正解的存在唯一性描述 微分方程r,xe R* x R, 1 /O -f X 其中 uO9Xa, vo,x u0x, X w R. /“为耗散项。 当fu 2au, cr0为常数时，得到非线性分数微分方程正解存在唯一性的结果。有学 者研究了/为非线性函数，但考虑 ” ”w 的情形。因此一旦“W为卩，它 相应于0/1的情形来讲，只是初值的小性假设，有学者给了初值的一模适当小的限制, 也有学者将它减弱到初值的C 一模的小性限制。这些假设需其一阶导数适当小，就能证明 了正解唯一性的存在。表述如下 假设非线性分数微分方程满足//ipve C20,oo； ” v O，Vv e0,oo； /0 0，.广“n2a， G 0 为常数。 那么微分方程⑴的特征值 丸 J，11 ⑵ 相应的Riemann不变量是 r u 。 a 0何其中Xv匸厂疋⑶ 在正解的意义下，存在唯一性可化为如下等价的存在唯一性 其中 rO,x Zofx sOq乂 5〔乂 0匕』乂， S0\x\ uo x \ vo xl o进一步假设初值满足如下条件 （比）如工I,心闵且0V几孙 Cf（/）表示G（/）中的有界集。 并且 ■r max-sup|厂O|，SUp卜，对、v min｛_ 0（0）,0（8）｝。5）在上述的假设下，我 XX 们的主要结果是定理2.】假设（“），）和）成立。如果sup/ZupM） -V-V 足够小，则存在唯一性（1.1）、（1.2）（等价于（2.4）、（2.5））在上半平面/＞（）存在唯一的 整体光滑解。 2. 正解唯一性的定理证明 特征线法 引理 假设（码），（片2）和（丹3）下，存在唯一性在非线性分数解存在区域内成立 卜卜（笃对＜ My⑹ supk兀爪 sup |s x- XXJ 证明 设（H 2）的方程为 （7） 7 -y /，（血X厂 S）， 其中 O v0 夕（厂,s）vl，“）＜（“），_ 兄空，卫_ 2_ “空.令 dudxt dt dxc/2r dt dx 。一、、疋日詁Q, 7 衣『胡CM 巴 0） sup f （（,）） X 于是山（7）式，得到（8） yy *（巴（门一厂（傲））一*/（锯斤， 乂令M）max｛sup|7（F,*，SUp匹,对〔如果（匚兀）为U正解存在区域内的任意一点， - XX 并过点（/，兀）作2 特征线和“ 一特征线，分别交于轴的点（O,a）和（0,0）沿特征线从0 到f分别积分，那么得到 r（r, x） G（c）]*；）｛舟（尺（『）一/伽））7 舟.厂（创）s （r 宀 （9） （r,x） f （c） J｛舟（刁（片）一 /iy）s 一厂（6kc）厂（r,心（r,rz＞/r） 当厂S） N2a＞ O时,止解|（巧一厂（血））7 一广（金闷 ＜（巧一厂（血）叼 .厂（血）|耳＜ F\h; 得到 M）W舟力（少（卄，他MM。严g（10） 再由式（8）、（9和（10）的逆比和求解,得到 |心x） S M。，卜（匚对V M。。可见，非线性分数解存在区域内 正解存在唯一性。 推论 在引理的假设之下，存在唯一性在光滑正解存在区域内成立，那么对SM。， O V v（/,x） V .（11） 其中，0 V t V 1，1 v讶v 8分别由下式所定义 0（丄），0（2） J,J-仃2） 很显然有 \u（t,x 舟|厂,兀） s（r,x）| Ma -i-|r（r,A）- 5（r,A）| M （⑶ 又由（円J的演算得到 （O） A70 （v） A/o v0（8）（14） 只有当时，0何为非线性分数解存在区域内函数，0（v）0（p）v 所以得到非线性分数解存在区域内唯一性表示为0v v（r,x）v oo （15） 推论结束。 3. 非线性分数微分方程实践应用探讨 当求一阶氏八5 满足初始条件儿-汀几的正解，其中函数f（x,y）是（x心）、 / y） 00 6o（X 一 心 sQ - 几） O 一几）的多项式比伍一吃）”3一几严那么就可以得到X_旺 的正解 ，几 田0 - 心 dO - 吃）2 a左O - x』，⑵） 其中勺，阳,...,比,...，是待定的系数，把（21）代入（20）中，以这些常数为系非线性分数 微分方程数的级数在其收敛区间内方程是。满足初始条件歹丄心二歹。的正解。 总之，非线性分数微分方程正解存在唯一性从命题到证明过程数学验证过程。其实，作为 在是现代工程领域，已经作为定理来使用。大学们只要了解非线性分数微分方程正解存在唯 一性验证，就一定会掌握好的。 参考文献 1 ＞林晓宁，非线性奇异微分方程解的存在唯一,性 2、孙伟志，华侨大学学报（自然科学版）2010年01期