3.3.2 函数的极值与导数
3.3.2 函数的极值与导数 【选题明细表】 学问点、方法 题号 函数极值的定义 1 函数极值(点)的推断与求解 2,3,7 由函数极值求参数(或范围) 4,5 函数极值的应用 10 综合问题 6,8,9,11 【基础巩固】 1.下列关于函数的极值的说法正确的是( D ) (A)导数值为0的点肯定是函数的极值点 (B)函数的微小值肯定小于它的极大值 (C)函数在定义域内有一个极大值和一个微小值 (D)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数 解析:由极值的概念可知只有D正确. 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有微小值点( A ) (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 解析:微小值点应有先减后增的特点,即f′(x)0.由图象可知只有1个微小值点.故选A. 3.函数y=1+3x-x3有( D ) (A)微小值-1,极大值1 (B)微小值-2,极大值3 (C)微小值-2,极大值2 (D)微小值-1,极大值3 解析:f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1. 由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3, 微小值为f(-1)=1-3+1=-1.故选D. 4.(2019·太原高二检测)若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为( A ) (A)(B)(C)2(D) 解析:f′(x)=a-,令f′()=0,即a-=0, 解得a=.故选A. 5.(2019·河南高二月考)已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1e (B)x1+x2>2 (C)x1x2>1 (D)有微小值点x0,且x1+x20, ①当a≤0时,f′(x)=ex-a>0在x∈R上恒成立, 所以f(x)在R上单调递增. ②当a>0时,因为f′(x)=ex-a>0,所以ex-a>0, 解得x>ln a, 所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增. 因为函数f(x)=ex-ax有两个零点x12+ln(x1x2), 取a=,f(2)=e2-2a=0, 所以x2=2,f(0)=1>0,所以00,所以00; 所以x=-3时f(x)取极大值30, x=1时,f(x)取微小值-2. 【实力提升】 9.(2019·沈阳高二质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( D ) (A)2(B)3(C)6(D)9 解析:f′(x)=12x2-2ax-2b, 则f′(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6, 又a>0,b>0,则t=ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时取等号.故选D. 10.(2019·成都高二诊断)函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,微小值为2,则f(x)的单调递减区间是 . 解析:令f′(x)=3x2-3a=0,得x=±, 则f(x),f′(x)随x的改变状况如表: x (-∞,-) - (-,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 微小值 ↗ 从而 解得 所以f(x)的单调递减区间是(-1,1). 答案:(-1,1) 11.(2019·呼伦贝尔高二检测)设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的微小值为-4. (1)求a,b,c的值; (2)求函数的递减区间. 解:(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b, 故0=3×02+2a×0+b,解得b=0. 所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax. 令y′=0,解得x=0或x=-a, 即x=0和x=-a是极值点. 由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取微小值. 当x=-a时,函数有微小值-4, 所以(-a)3+a(-)2=-4, 整理得a3=-27,解得a=-3. 故a=-3,b=0,c=0. (2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x, 令y′<0,即y′=3x2-6x<0, 解得0