3.3.2　函数的极值与导数

3.3.2 函数的极值与导数 【选题明细表】 学问点、方法 题号 函数极值的定义 1 函数极值点的推断与求解 2,3,7 由函数极值求参数或范围 4,5 函数极值的应用 10 综合问题 6,8,9,11 【基础巩固】 1.下列关于函数的极值的说法正确的是 D A导数值为0的点肯定是函数的极值点 B函数的微小值肯定小于它的极大值 C函数在定义域内有一个极大值和一个微小值 D若fx在a,b内有极值,那么fx在a,b内不是单调函数 解析由极值的概念可知只有D正确. 2.函数fx的定义域为开区间a,b,导函数f′x在a,b内的图象如图所示,则函数fx在开区间a,b内有微小值点 A A1个B2个C3个D4个 解析微小值点应有先减后增的特点,即f′x0→f′x0→f′x0.由图象可知只有1个微小值点.故选A. 3.函数y13x-x3有 D A微小值-1,极大值1 B微小值-2,极大值3 C微小值-2,极大值2 D微小值-1,极大值3 解析f′x-3x23,由f′x0可得x11,x2-1. 由极值的判定方法知fx的极大值为f13, 微小值为f-11-31-1.故选D. 4.2019太原高二检测若函数fxax-ln x在x处取得极值,则实数a的值为 A ABC2D 解析f′xa-,令f′0,即a-0, 解得a.故选A. 5.2019河南高二月考已知函数fxex-ax有两个零点x1x2,则下列说法错误的是 C Aae Bx1x22 Cx1x21 D有微小值点x0,且x1x22x0 解析因为fxex-ax,所以f′xex-a, 令f′xex-a0, ①当a≤0时,f′xex-a0在x∈R上恒成立, 所以fx在R上单调递增. ②当a0时,因为f′xex-a0,所以ex-a0, 解得xln a, 所以fx在-∞,ln a单调递减,在ln a,∞单调递增. 因为函数fxex-ax有两个零点x1x2, 所以fln a0,a0, 所以eln a-aln a0,所以ae,A正确; x1x2lna2x1x22ln alnx1x22lnx1x2, 取a,f2e2-2a0, 所以x22,f010,所以0 x11, 所以x1x22,B正确; f010,所以0 x11,x1x21不肯定,C不正确; fx在-∞,ln a单调递减,在ln a,∞单调递增,所以有微小值点x0ln a,且x1x22x02ln a,D正确.故选C. 6.2019陕西卷函数yxex在其极值点处的切线方程为 . 解析由yxex可得y′exxexexx1, 从而可得yxex在-∞,-1上递减,在-1,∞上递增, 所以当x-1时,yxex取得微小值-e-1, 因为y′|x-10,切点为-1,-, 故切线方程为y-e-1, 即y-. 答案y- 7.2019宝鸡高二月考已知函数fxax3bx2cx,其导函数yf′x的图象经过点1,0,2,0,如图所示,则下列说法中正确的是 把全部正确的说法序号都填上. ①当x时函数取得微小值; ②fx有两个极值点; ③当x2时函数取得微小值; ④当x1时函数取得极大值. 解析从题中图象上可以看到当x∈-∞,1时,f′x0; 当x∈1,2时,f′x0; 当x∈2,∞时,f′x0, 所以fx有两个极值点1和2,且当x2时函数取得微小值,当x1时函数取得极大值.只有①不正确. 答案②③④ 8.2019咸阳高二期末已知函数fxx33x2-9x3.求 1fx的单调递增区间; 2fx的极值. 解1f′x3x26x-9, 解f′x≥0,得x≥1或x≤-3; 所以fx的单调递增区间为-∞,-3],[1,∞. 2x-3时,f′x0,-3x1时,f′x0,x1时,f′x0; 所以x-3时fx取极大值30, x1时,fx取微小值-2. 【实力提升】 9.2019沈阳高二质检若a0,b0,且函数fx4x3-ax2-2bx2在x1处有极值,若tab,则t的最大值为 D A2B3C6D9 解析f′x12x2-2ax-2b, 则f′112-2a-2b0,则ab6, 又a0,b0,则tab≤29,当且仅当ab3时取等号.故选D. 10.2019成都高二诊断函数fxx3-3axba0的极大值为6,微小值为2,则fx的单调递减区间是 . 解析令f′x3x2-3a0,得x, 则fx,f′x随x的改变状况如表 x -∞,- - -, ,∞ f′x 0 - 0 fx ↗ 极大值 ↘ 微小值 ↗ 从而 解得 所以fx的单调递减区间是-1,1. 答案-1,1 11.2019呼伦贝尔高二检测设函数yx3ax2bxc的图象如图所示,且与y0在原点相切,若函数的微小值为-4. 1求a,b,c的值; 2求函数的递减区间. 解1因为函数的图象经过点0,0,易得c0.又图象与x轴相切于点0,0,且y′3x22axb, 故03022a0b,解得b0. 所以yx3ax2,则y′3x22ax. 令y′0,解得x0或x-a, 即x0和x-a是极值点. 由图象知函数在x0处取极大值,故在x-a时取微小值. 当x-a时,函数有微小值-4, 所以-a3a-2-4, 整理得a3-27,解得a-3. 故a-3,b0,c0. 2由1得yx3-3x2,则y′3x2-6x, 令y′0,即y′3x2-6x0, 解得0 x2, 所以函数的递减区间是0,2. 【探究创新】 12.2019南阳高二期末已知函数fxx3ax22bxc,函数fx在区间0,1内取极大值,在区间1,2内取微小值,则u的取值范围是 . 名师点拨由函数在0,1内取极大值,在1,2内取微小值,列出a,b所满意的约束条