轮不等式数列极限数学归纳法复习资料

不等式、数列、极限与数学归纳法 湖南省常德市一中曹继元 不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。其中， 选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及 创新意识为主。总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。预测今年高考关于这一 部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。与往年一样，可能出现基本题型、 综合 题型、 应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知 识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。因此，我们必须引起高度重视。 1.不等式. 近三年湖南省高考考查情况统计 年代 客 观 题 题号 第 1,3,7, 12 题 主 观 题（不等式）试 题 21．已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线 C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于 O，A,直线 x=t(0a3=－1, 当 n≥4 时， 2n75 3=a 4a5a6…an1. ∴a n的最小值为 a3=－1，最大值为 a4=3. （3）S n1 5(n 1)n(n 1)(n 5)2n 7  (n 1)()1b n . 2222 lim (n 1)b n (n 1)(2n 7)  lim 2。 nn S n1 (n 1)(n 5) ③数列在其它数学知识中的广泛应用； 例 14.在直角坐标平面上有一点列P 1 (x 1 , y 1 ),P 2 (x 2 , y 2 ) ,P n (x n , y n ) ，对一切正整数n，点P n 位 于函数y  3x  135 的图象上，且P n 的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn。⑴求点 42 P n 的坐标； ⑵设抛物线列C1,C 2 ,C 3 , ,C n , 中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线cn的顶点为P n ， 且过点Dn(0,n 1)， 记与抛物线Cn相切于Dn的直线的斜率为k n ， 求： 2 111   。 k 1k2 k 2 k 3 k n1kn ⑶设S   x | x  2x n ,n  N,n  1,T  y | y  4y n ,n  1，等差数列a n  的任一项 a n S T ，其中a 1 是S T中的最大数， 265  a10  125，求a n  的通项公式。 解：（1）xn 1353553 (n1)(1) n ，yn3xn 3n,P n (n,3n ) 442422 （2） Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为P n .设Cn的方程为：y  a(x  2n 3 2 12n 5 ) ,把 24 D n (0,n21)代入上式，得a 1，c n 的方程为：y  x2 (2n 3)x  n21。 k n  y | x0  2n  3， = 1 k n1kn  1111 ()， (2n 1)(2n 3)2 2n 12n 3 1 1111 。 ()  2 52n 3104n  6 （3）S {x | x  (2n 3),n N,n 1}， S I T T,T 中最大数a 1  17. 设{an}公差为d，则a10  17 9d (265,125)，由此得 例 15.已知函数f (x)的定义域为[0,1]，且同时满足：①f (1)3；②f (x) 2恒成立；③若 x 1  0,x 2  0,x 1  x 2 1，则有f (x 1  x 2 )  f (x 1) f (x2 )2． （1）试求函数f (x)的最大值和最小值； （2）试比较f ( 11 与)2的大小(nN）； nn22 1 （3）某人发现：当x= n(nN)时，有f(x)2x+2.由此他提出猜想：对一切 x(0,1 ],都有f (x)  2x 2， 2 请你判断此猜想是否正确，并说明理由． 解: (1)设 0≤x 1x2≤1,则必存在实数 t(0,1),使得 x2=x1+t, 由条件③得,f(x 2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2, ∴f(x 2)-f(x1)f(t)-2, 由条件②得, f(x 2)-f(x1)0, 故当 0≤x≤1 时,有 f(0)≤f(x)≤f(1). 又在条件③中,令 x 1=0,x2=1,得 f(1)f(1)+f(0)-2,即 f(0)≤2,∴f(0)=2, 故函数 f(x)的最大值为 3,最小值为 2. 111111 (2)解:在条件③中,令 x 1=x2=n,得 f(n-1)2f(n)-2,即 f(n)-2≤ [f(n-1)-2], 222222 11111111 故当 nN*时，有 f( n)-2≤ [f(n-1)-2]≤2[f(n-2)-2]≤···≤n[f(0)-2]=n,22222222 111111 即 f( n)≤n+2. 又 f( 0)=f(1)=3≤2+0, 所以对一切 nN,都有 f(n)≤n+2.222222 (3)对一切x(0,1],都有f (x)  2x 2.对任意满足 x(0,1]，总存在 n(nN),使得 11 n+12n+1+2=n+2,故有 f (x)  2x 2.综上所述， 2222 对任意x(0,1],f (x)  2x 2恒成立. 例 16.等差数列an中，首项a1 1，公差d  0，数列a k ,a k 12 ,a k3 ,L L ,a kn ,L L 成等比数列，其中k1 1,k 2  2,k 3  5。 （1）求数列an,kn的通项公式；  （2）当n N ,n  3时，求证： （1）解：a22 a 3 a n a 2 a 4 8 L L  。 2k 2  22k 3  22k 4  22k n  23 2  a 1 a 5 1 d11 4d d  2，a n  2n 1，a kn  2k n 1，又等 a 2 3，所以a kn  3n1， a 1 比数列中，公比q  2k n 1 3n1 3n11  k n  ； 2 a m 2m 1  m1 mN,m  2 ， 2k m  231 （2）（理）证明：  m  2时， 记sn 2m 132m 12m m1 ，时， Q 3 2m, m1 ， m  3 m1m1312313  68102n168102n 22n ，则 L s L  n ， n 234n1345n13333333333 22  222222n2 333n 2n  n ，相减得到： s n  3  4 L  n1  n  1 33333333 1 3 所以sn 1 a 3 a n a 2 a 4 1