北师大版2020中考复习：特殊的四边形

北师大版中考复习：特殊的四边形北师大版中考复习：特殊的四边形 【考纲要求】考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题． 3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题． 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点一、几种特殊四边形性质、判定考点一、几种特殊四边形性质、判定 四边形 边 矩形对边平行 且相等 性质 角 四个角是直 角 对角线 相等且互相平分 1、 有一个角是直角的平行四边形是矩 形； 中 心、 判定 2、有三个角是直角的四边形是矩形； 轴对 3、 对角线相等的平行四边形是矩称图 形形 菱形四条边相 等 对角相等， 邻角互补 垂直且互相平 分，每一条对角 1、 有一组邻边相等的平行四边形是菱 形； 3、 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 . 中心 对称 图形线平分一组对角2、四条边都相等的四边形是菱形； 正方形 四条边相 等 四个角是直 角 相等、垂直、平 分，并且每一条 对角线平分一组 对角 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 中 心、 轴对 称图 形 等腰梯形两底平 行，两腰 相等 同一底上的 两个角相等 相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、 在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 轴对 称图 形 【要点诠释】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质. 考点二、梯形考点二、梯形 1 1．解决梯形问题常用的方法：．解决梯形问题常用的方法： （1） “平移腰” ：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1） ； （2） “作高” ：使两腰在两个直角三角形中（图2） ； （3） “平移对角线” ：使两条对角线在同一个三角形中（图3） ； （4） “延腰” ：构造具有公共角的两个三角形（图4） ； （5） “等积变形” ，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形 （图 5） ． 图 1图 2图 3图 4图 5 【要点诠释】【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉 的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内 容很有帮助． 2.2.特殊的梯形特殊的梯形 1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 性质： （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等． （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线． 2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 考点三、中点四边形相关问题考点三、中点四边形相关问题 1.1. 中点四边形的概念：中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 2.2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 【要点诠释】【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定． 【典型例题】【典型例题】 类型一、特殊的平行四边形的应用类型一、特殊的平行四边形的应用 【【多边形与特殊平行四边形多边形与特殊平行四边形例例 2 2】】 1. 在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由； （2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是； （3）如图③，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是； （4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由. 【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定． 【答案与解析】 （1）四边形 EGFH 是平行四边形； 证明：∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心； ∴EO=FO，GO=HO； ∴四边形 EGFH 是平行四边形； （2）菱形； （提示：菱形的对角线垂直平分） （3）菱形； （提示：当 AC=BD 时，对四边形 EGFH 的形状不会产生影响，故结论同（2） ） （4）四边形 EGFH 是正方形； 证明：∵AC=BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形； 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC； ∵EF⊥GH， ∴∠GOF=90°； ∴∠BOG=∠COF； ∴△BOG≌△COF（ASA） ； ∴OG=OF，∴GH=EF； 由（3）知四边形 EGFH 是菱形， 又 EF=GH， ∴四边形 EGFH 是正方形． 【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和 性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键． 2．动手操作：在一张长12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边 中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，小明同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ． （1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？ （2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？ 【思路点拨】 （1） 、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可． （2） 、按照图形用面积公式计算S=30 和 S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】 （1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，则∠DAC=∠ACB， 又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB， ∴AE=EC=CF=FA， ∴四边形 AECF 是菱形． （2）方案一： S 菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4× 方案二： 设 BE=x，则 CE=12-x， 22 ∴AE= BE  AB = 2 15 2 ×6×=30（cm） ， 22 x225 222 由 AECF 是菱形，则 AE =CE ∴x +25=（12-x） ， ∴x= 119 ， 24 1191 2 ×5×≈35.21（cm） ， 242 S 菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2× 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：举一反三： 【【多边形与特殊平行四边形多边形与特殊平行四边形例例 6 6】】 【变式变式】 如图， 点 O 是矩形 ABCD 的