北师大版2020中考复习：特殊的四边形

北师大版中考复习特殊的四边形北师大版中考复习特殊的四边形 【考纲要求】考纲要求】 1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形； 2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题． 3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题． 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 考点一、几种特殊四边形性质、判定考点一、几种特殊四边形性质、判定 四边形 边 矩形对边平行 且相等 性质 角 四个角是直 角 对角线 相等且互相平分 1、 有一个角是直角的平行四边形是矩 形； 中 心、 判定 2、有三个角是直角的四边形是矩形； 轴对 3、 对角线相等的平行四边形是矩称图 形形 菱形四条边相 等 对角相等， 邻角互补 垂直且互相平 分，每一条对角 1、 有一组邻边相等的平行四边形是菱 形； 3、 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 . 中心 对称 图形线平分一组对角2、四条边都相等的四边形是菱形； 正方形 四条边相 等 四个角是直 角 相等、垂直、平 分，并且每一条 对角线平分一组 对角 1、邻边相等的矩形是正方形 2、对角线垂直的矩形是正方形 3、有一个角是直角的菱形是正方形 4、对角线相等的菱形是正方形 中 心、 轴对 称图 形 等腰梯形两底平 行，两腰 相等 同一底上的 两个角相等 相等 1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 2、 在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形； 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 轴对 称图 形 【要点诠释】【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质. 考点二、梯形考点二、梯形 1 1．解决梯形问题常用的方法．解决梯形问题常用的方法 （1） “平移腰” 把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1） ； （2） “作高” 使两腰在两个直角三角形中（图2） ； （3） “平移对角线” 使两条对角线在同一个三角形中（图3） ； （4） “延腰” 构造具有公共角的两个三角形（图4） ； （5） “等积变形” ，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形 （图 5） ． 图 1图 2图 3图 4图 5 【要点诠释】【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉 的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内 容很有帮助． 2.2.特殊的梯形特殊的梯形 1）等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 性质 （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等． （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形． （3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线． 2）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形． 考点三、中点四边形相关问题考点三、中点四边形相关问题 1.1. 中点四边形的概念中点四边形的概念把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 2.2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直； 若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等； 若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 【要点诠释】【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定． 【典型例题】【典型例题】 类型一、特殊的平行四边形的应用类型一、特殊的平行四边形的应用 【【多边形与特殊平行四边形多边形与特殊平行四边形例例 2 2】】 1. 在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点O 作直线 EF、GH，分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE. （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由； （2）如图②，当 EF⊥GH 时，四边形 EGFH 的形状是； （3）如图③，在（2）的条件下，若 ACBD，四边形 EGFH 的形状是； （4）如图④，在（3）的条件下，若 AC⊥BD，试判断四边形 EGFH 的形状，并说明理由. 【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定． 【答案与解析】 （1）四边形 EGFH 是平行四边形； 证明∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心； ∴EOFO，GOHO； ∴四边形 EGFH 是平行四边形； （2）菱形； （提示菱形的对角线垂直平分） （3）菱形； （提示当 ACBD 时，对四边形 EGFH 的形状不会产生影响，故结论同（2） ） （4）四边形 EGFH 是正方形； 证明∵ACBD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形； 又∵AC⊥BD， ∴平行四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOC90，∠GBO∠FCO45，OBOC； ∵EF⊥GH， ∴∠GOF90； ∴∠BOG∠COF； ∴△BOG≌△COF（ASA） ； ∴OGOF，∴GHEF； 由（3）知四边形 EGFH 是菱形， 又 EFGH， ∴四边形 EGFH 是正方形． 【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和 性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键． 2．动手操作在一张长12cm、宽 5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边 中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，小明同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE∠CAD，∠ACF∠ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ． （1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗 （2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大 【思路点拨】 （1） 、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可． （2） 、按照图形用面积公式计算S30 和 S35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】 （1）小颖的理由依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由∵ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，则∠DAC∠ACB， 又∵∠CAE∠CAD，∠ACF∠ACB， ∴∠CAE∠CAD∠ACF∠ACB， ∴AEECCFFA， ∴四边形 AECF 是菱形． （2）方案一 S 菱形S矩形-4S△AEH125-4 方案二 设 BEx，则 CE12-x， 22 ∴AE BE  AB 2 15 2 630（cm） ， 22 x225 222 由 AECF 是菱形，则 AE CE ∴x 25（12-x） ， ∴x 119 ， 24 1191 2 5≈35.21（cm） ， 242 S 菱形S矩形-2S△ABE125-2 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三举一反三 【【多边形与特殊平行四边形多边形与特殊平行四边形例例 6 6】】 【变式变式】 如图， 点 O 是矩形 ABCD 的