中考数学总复习资料：线段、角、相交线、平行线

中考数学总复习资料：第八章中考数学总复习资料：第八章 线段、角、相交线、平行线线段、角、相交线、平行线 第八章：线段、角、相交线、平行线 学问点： 一、直线： 直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直 和“ 向两方无限延长 。 二、直线的性质： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以 公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相 交，只有一个交点。 三、射线： 1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。 2、射线的特征：“向一方无限延长，它有一个端点。 四、线段： 1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点 叫做线段的端点。 2、线段的性质〔公理〕 ：全部连接两点的线中，线段最短。 五、线段的中点： 1、定义如图1 一 1 中，点B 把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段图 1－1AC 的中点。 2、表示法： ∵AB＝BC 第 13 页 点 B 为 AC 的中点 或∵ AB＝ MAC 点 B 为 AC 的中点，或∵AC＝2AB，点 B 为 AC 的中点 反之也成立 ∵点 B 为 AC 的中点，AB＝BC 或∵点 B 为 AC 的中点，AB= AC 或∵点 B 为 AC 的中点，AC=2BC 六、角 1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形 叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形； ② 这两条射线必需有一个公共端点。 另一种是一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所形成的图形。 可以看出在起始位置的射线与 终止位置的射线就形成了一个角。 2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射 线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图12 〔1〕AOC＝BOC 〔2〕AOB＝2AOC＝ 2COB 〔3〕AOC＝COB= AOB 七、角的度量： 度量角的大小，可用“度 作为度量单位。把一个圆周分成 360 等 份，每一份叫做一度的角。1 度=60 分；1 分=60 秒。 八、角的分类： 第 14 页 1、锐角：小于直角的角叫做锐角 2、直角：平角的一半叫做直角 3、钝角：大于直角而小于平角的角 4、平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位 置和起始位置成始终线时，所成的角叫做平角。 5、周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和 始边重合时，所成的角叫做周角。 6、周角、平角、直角的关系是： l 周角=2 平角=4 直角=360 九、相关的角： 1、 对顶角： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， 这两个角叫做对顶角。 2、互为补角：假如两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。 3、 互为余角： 假如两个角的和是一个直角， 这两个角叫做互为余角。 4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的 两个角做互为邻补角。 留意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而 互为邻补角则要求两个角有特别的位置关系。 十、角的性质： 1、对顶角相等。 2、同角或等角的余角相等。 3、同角或等角的补角相等。 十一、相交线： 第 15 页 1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条 直线的斜线。它们的交点叫做斜足。 2、两条直线相互垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 是直角时，就说这两条直线相互垂直。 3、垂线：当两条直线相互垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线 的垂线，它们的交点叫做垂足。 4、垂线的性质： 〔1〕过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。 〔2〕直线外一点与直线上各点连结的全部线段中，垂线段最短。简 洁说：垂线段最短。 十二、距离： 1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。 2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向 另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。 说明： 点到直线的距离和平行线的距离事实上是两个特别点之间的距 离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。 十三、平行线： 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 平行。 3、平行公理的推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么 第 16 页 这两条直线也相互平行。 说明：也可以说两条射线或两条线段平行， 这事实上是指它们所在的 直线平行。 4、平行线的判定： 〔1〕同位角相等，两直线平行。 〔2〕内错角相等，两直线平行。 〔3〕同旁内角互补，两直线平行。 5、平行线的性质： 〔1〕两直线平行，同位角相等。 〔2〕两直线平行，内错角相等。 〔3〕两直线平行，同旁内角互补。 说明：要证明两条直线平行，用判定公理〔或定理〕在已知条件中有 两条直线平行时，则应用性质定理。 6、假如一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个 角相等或互补。 留意：当角的两边平行且方向相同〔或相反〕时，这两个角相等。当 角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。 例题： 方法 1：如何区分角的个数与线段条数。 例 1、如图 1－4 在线段 AE 上共有 5 个点 A、B、C、D、E 怎样才 数出全部线段。 [思路分析]本问题如不仔细审题会误以为有4点恰有4个空就是 第 17 页 4 条线段即 AB、BC、 CD、 ED；而假如从一个端点出发、再找出另一 个端点确定线段，就会发觉有 10 条线段：即： AB、AC、AD、AE、BC、 BD、BE、CD、CE、DE 共 10 条。 规律总结：此类型题假如做到不重不漏， 最好方法是先从一个端点出 发，再找出另一个端点确定线段。 例 2、 如图 1 一 5 指出图形中直线 AB 上方角的个数 〔不含平角〕 [思路分析]此题有些同学不仔细分析误认为就 4 个角， 其实共有 9 个角。即：AOC、AOD、AOE、COD、COE、COB、DOE、DOB、EOB 共 9 个角。 规律总结：从一个顶点引出多条射线时．为了确定角的个数，一般按 边顺序分类统计，避开既不重复又不遗漏。 方法 2：用代数法求角度 例 3、已知一个锐角的余角， 是这个锐角的补角的 ， 求这个角。 [思路分析]此题涉及到的角是锐角同它的余角及补角。 依据互为余角， 互为补角的概念，考虑它们在数量上有什么关系？设锐角为x，则它 的余角为 90 x ，它的补角为 180 x，这就可以列方程了。解：略 规律总结：有关余角、补角的问题，一般都用代数方法先设未知数， 再依题意列出方程，求出结果。 方法 3：添加帮助线平移角 例 4、已知：如图 l6，AB∥ED 求证：B＋BCD＋D＝360 [思路分析]我们知道只有周角是等于 360，而图中又出现了与 第 18 页 BCD 相关的以 C 为顶点的周角，若能把 B、D 移到与 BCD 相邻且以 C 为顶点的位置，即可把 B、BCD 和 D 三个角组成一分周角，则可推出 结论。证时：略 规律总结：此题虽是三种证法但思想是一样的，都是通过加帮助线， 平移角到达目的，这种处理方法在几何中经常用到。 第 19 页