数学分析汇总

精品文档---下载后可任意编辑 章节题目：实数集与函数 学时分配：共5学时 § 1 实数（1学时） § 2 数集.确界原理 （2学时） § 3 函数概念 ( 1学时 ) § 4 具有某些特性的函数 (1学时 ) 教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。 教学要求： 1、 掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。 3、掌握基本初等函数的性质及其图形。 4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。 5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。 其他： 注: 第一章大部分内容中学学过。 课堂教学方案 课题名称、授课时数： § 1 实数 1学时 § 2 数集确界原理 2学时 授课类型：理论课 教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学） 教学目的与要求： 1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 2. 掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点： 1.实数集的概念性质及应用,； 2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。 教学难点：数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。 教学内容 首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分. 数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础. 第一章 实数集与函数 § 1 实 数 复习引新： ：回顾中学中关于实数集的定义. 2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes性； 稠密性: 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的 几何表示 ─── 数轴: 3.两实数相等的充要条件: 二. 重要不等式 1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: （1） （2） 均值不等式 （3） Bernoulli 不等式:有不等式 （4) 由二项展开式对 有.在应用时根据需要确定右边的某一项(k的值)。 教学内容： 数学分析讨论的对象是定义在实数集上的函数，因此先简要叙述实数的有关概念. 一实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： 无理数：无限十进不循环小数. 规定：对于正有限小数（包括正整数），当时，其中为非负整数，记 而当为正整数时，则记 例如：记为 ；对于负无限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 ；又规定数0 记为.于是任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.先定义两个实数的大小关系. 实数大小的比较 定义1 给定两个非负实数 其中为非负整数，为整数， 若有 则称 与 相等，记为；若，或存在非负整数，使得 则称 大于（或 小于 ），分别记为（或）. 对于负实数，若按上述规定分别有与，则分别称与（或）.另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数. 实数的有理数近似表示 定义2设为非负实数，称有理数 为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。 对于负实数 的位不足近似值规定为：； 的位过剩近似值规定为： 例如 ，则它的 3位不足近似是，3位过剩近似是. 4位不足近似是，4位过剩近似是. 注不难看出，实数的不足近似当增大时不减，即有，而过剩近似当增大时不增，即有. 比如 ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为的过剩近似值。 我们有以下的 命题 设， 为两个实数，则 例1 设为实数，.证明：存在有理数 满足 证 由，故存在非负整数，使得 ，令 则显然为有理数，且有 即得 实数有如下一些主要性质 1、四则运算封闭性:任两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数。 2、有序性:任意两个实数必满足下面三个关系之一：，，。 3、实数大小传递性： 4、阿基米德性（Archimedes）：，若，则，使得. 5、 稠密性: 有理数和无理数的稠密性. 6、实数集的几何表示 ─── 数轴（实数的连续性或完备性） 例2设 .证明:若对 证 （反证）倘若结论不成立，则根据实数的有序性，有.令， 则为正数且，但这与假设. 练习：习题 3:设 .证明： 证 倘若结论不成立，假设那么设，则取，有这与已知的矛盾.从而必有. 二 绝对值与不等式 实数的绝对值定义为： 从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离. 实数的绝对值有如下一些主要性质 性质4（三角不等式）的证明： 三. 几个重要不等式（补充）: 1、 2、 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有均值不等式: 等号当且仅当 时成立. 3、 Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对由二项展开式 有: 。 课堂练习讨论：Ｐ４ １．（１）(2)２．（1） 5(1)(2) 作业：P4 3题,5题 § 2 数集 确界原理 本节中先讨论R中两类重要的数集---区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。 一、区间与邻域 无穷区间： 0 a 0 a 邻域： 设，满足绝对值不等式的全体实数集合称为点邻域，记作或，即 点的空心邻域为，简记 点的右邻域为，简记 点的空心右邻域为，简记 点的左邻域为，简记 点的空心左邻域为，简记 邻域：，其中为充分大的数。 -M