数学分析汇总

精品文档---下载后可任意编辑 章节题目实数集与函数 学时分配共5学时 1 实数（1学时） 2 数集.确界原理 （2学时） 3 函数概念 1学时 4 具有某些特性的函数 1学时 教学目的通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。 教学要求 1、 掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。 3、掌握基本初等函数的性质及其图形。 4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。 5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。 其他 注 第一章大部分内容中学学过。 课堂教学方案 课题名称、授课时数 1 实数 1学时 2 数集确界原理 2学时 授课类型理论课 教学方法与手段讲授为主（部分内容自学） 教学目的与要求 1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 2. 掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点 1.实数集的概念性质及应用,； 2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。 教学难点数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。 教学内容 首先简要介绍“数学分析”课程的内容分三个学期；所有内容可分为四部分1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分. 数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础. 第一章 实数集与函数 1 实 数 复习引新 回顾中学中关于实数集的定义. 2.实数集性质四则运算封闭性；三歧性 即有序性 ；Rrchimedes性； 稠密性 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的 几何表示 ─── 数轴 3.两实数相等的充要条件 二. 重要不等式 1. 绝对值不等式 定义 [1]P3 的六个不等式. 2. 其他不等式 （1） （2） 均值不等式 （3） Bernoulli 不等式有不等式 （4 由二项展开式对 有.在应用时根据需要确定右边的某一项k的值。 教学内容 数学分析讨论的对象是定义在实数集上的函数，因此先简要叙述实数的有关概念. 一实数及其性质 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数 无理数无限十进不循环小数. 规定对于正有限小数（包括正整数），当时，其中为非负整数，记 而当为正整数时，则记 例如记为；对于负无限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 ；又规定数0 记为.于是任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.先定义两个实数的大小关系. 实数大小的比较 定义1 给定两个非负实数 其中为非负整数，为整数， 若有 则称与相等，记为；若，或存在非负整数，使得 则称大于（或小于），分别记为（或）. 对于负实数，若按上述规定分别有与，则分别称与（或）.另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数. 实数的有理数近似表示 定义2设为非负实数，称有理数 为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。 对于负实数 的位不足近似值规定为； 的位过剩近似值规定为 例如 ，则它的 3位不足近似是，3位过剩近似是. 4位不足近似是，4位过剩近似是. 注不难看出，实数的不足近似当增大时不减，即有，而过剩近似当增大时不增，即有. 比如，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为的过剩近似值。 我们有以下的 命题设，为两个实数，则 例1 设为实数，.证明存在有理数满足 证 由，故存在非负整数，使得，令 则显然为有理数，且有 即得 实数有如下一些主要性质 1、四则运算封闭性任两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数。 2、有序性任意两个实数必满足下面三个关系之一，，。 3、实数大小传递性 4、阿基米德性（Archimedes），若，则，使得. 5、稠密性 有理数和无理数的稠密性. 6、实数集的几何表示 ─── 数轴（实数的连续性或完备性） 例2设 .证明若对 证 （反证）倘若结论不成立，则根据实数的有序性，有.令， 则为正数且，但这与假设. 练习习题 3设 .证明 证 倘若结论不成立，假设那么设，则取，有这与已知的矛盾.从而必有. 二 绝对值与不等式 实数的绝对值定义为 从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离. 实数的绝对值有如下一些主要性质 性质4（三角不等式）的证明 三. 几个重要不等式（补充） 1、 2、 对 记 算术平均值几何平均值 调和平均值 有均值不等式 等号当且仅当时成立. 3、Bernoulli 不等式 在中学已用数学归纳法证明过 对由二项展开式 有 。 课堂练习讨论Ｐ４ １．（１）2２．（1） 512 作业P4 3题,5题 2 数集 确界原理 本节中先讨论R中两类重要的数集---区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。 一、区间与邻域 无穷区间 0 a 0 a 邻域 设，满足绝对值不等式的全体实数集合称为点邻域，记作或，即 点的空心邻域为，简记 点的右邻域为，简记 点的空心右邻域为，简记 点的左邻域为，简记 点的空心左邻域为，简记 邻域，其中为充分大的数。 -M